Le théorème de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.

Abus de langage :

On dit "carré de l'hypoténuse" au lieu de "carré de la longueur de l'hypoténuse"

On sait que : ABC triangle rectangle en A

Théorème de Pythagore

Donc : BC² = AB² + AC²

A quoi sert le théorème ?

 - à calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle quand on connaît la longueur des deux autres

 - à démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle

La réciproque du théorème

Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle et le plus grand côté est l'hypoténuse.

On sait que : ABC triangle

                       [BC] côté le plus long

                        BC² = AB² + AC²

Réciproque du théorème de Pythagore

Donc : ABC triangle rectangle en A

A quoi sert la réciproque du théorème ?

 - à démontrer qu'un triangle est rectangle

Racine carrée d'un nombre

16 est le carré de 4 :

4² = 16

4 est la racine carrée de 16 :

16 a pour racine carrée 4 :

Valeur exacte ou valeur approchée ?

Lorsqu'on utilise le théorème de Pythagore, on est amené à écrire  BC² = 16   ou   BC² = 15

si BC² = 16, alors on peut facilement deviner que BC = 4

     On écrit  : BC² = 16 donc BC =

                                                 BC =   4

si BC² = 15, il est difficile de deviner la valeur exacte de BC, mais la calculatrice le fait pour nous.

   On écrit  :  BC² = 15 donc BC  =

                                                BC   3,9  (arrondi au dixième)

   Ne surtout PAS écrire : BC = 3,872983346

   - autant de chiffres ne servent à rien !

   - la calculatrice est limitée par son affichage : cette valeur est une valeur approchée !

25 est le carré de 5  :  

5² = 25

5 est la racine carrée de 25 :

25 a pour racine carrée 5:

Illustration 1 : calculer la longueur de l'hypoténuse

Énoncé

Soit PQR un triangle rectangle en P tel que : PR = 3 cm et PQ = 4 cm.

Calculer RQ (valeur exacte ou valeur arrondie au dixième).

  figure à main levée

Solution

On sait que  : PQR triangle rectangle en P

                        PR = 3 cm

                        PQ = 4 cm

Donc, par le théorème de Pythagore

RQ² = PR² + PQ²

RQ² = 3² + 4²

RQ² = 9 + 16

RQ² = 25

Donc : RQ = cm

             RQ = 5 cm

Illustration 2 : calculer la longueur d'un côté de l'angle droit

Énoncé

Soit ONM un triangle rectangle en O tel que : OM = 2 cm et MN = 5 cm.

Calculer ON (valeur exacte ou valeur arrondie au dixième).

  figure à main levée

Solution

On sait que  : ONM triangle rectangle en O

                        OM = 2 cm

                        MN = 5 cm

Donc, par le théorème de Pythagore

MN² = OM² + ON²

5² = 2² + ON²

25 = 4 + ON²

ON² = 25 - 4

ON² = 21

Donc : ON = cm

             ON 4,6 cm

Illustration 3 : démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle

Énoncé

Soit ABC un triangle tel que : AB = 3 cm, AC = 4 cm, BC = 6 cm.

Démontrer que le triangle ABC n'est pas rectangle. 

Si ABC était rectangle, son hypoténuse serait [BC] qui est le côté le plus long,

donc, par le théorème de Pythagore, on aurait l'égalité BC² = AB² + AC² ...

figure à main levée

Solution

On sait que  : ABC triangle

                        AB = 3 cm

                        AC = 4 cm

                        BC = 6 cm

                        [BC] côté le plus long

BC² = 6² = 36

AB² + AC²  =  3² + 4² =  9 + 16= 25

Donc : BC²    AB² + AC²

Donc, par le théorème de Pythagore,

le triangle ABC n'est pas rectangle.

Illustration 4 : démontrer qu'un triangle est rectangle

Énoncé

Soit EFG un triangle tel que : EF = 13 cm, GE = 5 cm, GF = 12 cm.

Démontrer que le triangle EFG est rectangle.

figure à main levée

Solution

On sait que  : EFG triangle

                        EG = 5 cm

                        GF = 12 cm

                        EF = 13 cm

                        [EF] côté le plus long

EF² = 13² = 169

GE² + GF² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169

Donc : EF² = GE² + GF²

Donc, par la réciproque du théorème de Pythagore

le triangle EFG est rectangle en G.