Les origines
Les
nombres sont apparus par nécessité
pratique il y a plus de 3000 ans avant
J.C. Dans la vie quotidienne, ils
pouvaient servir à compter des objets,
des troupeaux , mesurer les dimensions
d'un champ, ou peser les récoltes. A
cette époque, les nombres étaient
toujours liés à quelque chose de
concret.
C'est en
Grèce, environ 500 ans avant J.C.que
les nombres ont acquis un statut
d'êtres mathématiques abstraits,
étudiés pour eux-mêmes. Les plus
célèbres mathématiciens de cette
époque,dont on parle au collège, sont
Thalès de Milet (-625,-546),Pythagore
de Samos (- 569 av JC,~ 500 av
JC ), Euclide(3 ième siècle avant
JC).
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Des chiffres et des lettres ... pour
former ... des nombres et des
mots
En
français, on regroupe certaines des 26
lettres de l'alphabet
pour composer des mots : a b c d
e f g h i j k l m n o p q r s t u v w
x y z
En
mathématiques, les 10 chiffres du
système numérique servent à composer
les nombres : 0 1 2 3 4 5 6 7 8
9.
Notons
que, dans le langage courant, on
confond parfois les notions de nombres
et chiffres. Par exemple : "dans
le monde, il y plusieurs millions
d'infectés. Ce chiffre est important
...". On devrait dire :"Ce nombre est
important ...".
Attention
à ne pas confondre "chiffre des
dizaines" et "nombre de dizaines"
:
Le
chiffres des dizaines de 259 est 5,
alors que son nombre de dizaines est
259.
En effet
259 = 25 dizaines et 9 unités.
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Les systèmes de numération
Lorsque
nous écrivons 259, nous comptons dans
le système en base 10 ou système
décimal. Ce système qui semble
naturel, car basé sur les 10 doigts
des mains, permet d'écrire tous les
nombres à l'aide de 10 symboles
différents appelés chiffres.
1
dizaine = 10 unités
1
centaine = 10 dizaines = 100
unités
1
millier = 10 centaines = 1000
unités
259
(unités) = ( 2
100) + (5
10) + ( 9
1)
=
2 centaines + 5 dizaines + 9
unités.
Dans le
système en base 60 ou sexagésimal, il
faut 60 symboles différents pour
écrire tous les nombres. De nos
jours, il sert essentiellement à
mesurer des durées.
1 minute
= 60 secondes
1 heure
= 60 minutes = 3600 secondes
3875 (secondes)
= (1
3600 s) + (4
60 s) + (35
1 s)
=
1 h + 4 min + 35 s
Le
système en base 2 (ou binaire) est
utilisé en informatique. Il n'utilise
que 2 symboles différents 0 et 1
qui peuvent être représentés
facilement par des supports physiques
: interrupteur fermé et interrupteur
ouvert. Je me souviens avoir aborder
ce système à l'école maternelle, en
assemblant des cubes jaunes sous
forme de paquets de paquets
de paquets de ... de 2 : (1
- 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128
...)
1
"deuxaine" = 2 unités
1
"quatraine" = 2 "deuxaines" = 4
unités
1011 en
base 2 =
(1
8) + (0
4) +
(1
2)
+ (1
1)
=
11 en base 10
Vous
suivez ?
Dites à
un informaticien "1024", il vous
répondra "2 puissance 10". Il compte
implicitement en base 2. C'est à dire
: 1024 en base 10 =
10000000000 en base 2
Il
existe une infinité de système de
numération, base 2, base 3, base 4,
base 5, ... Mais on peut penser aussi
à d'autres sytèmes :
- les
chiffres romains : I - II - III - IV -
V - VI -VII -VIII -IX - X
- les
hiéroglyphes en Egypte (3000 av
JC)
-
l'écriture cunéiforme à Babylone (1800
av JC)
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Convertir
Pour
convertir "à la main " un nombre de la
base 10 à une base n (avec n
<10) on effectue une suite de
divisions euclidiennes dont le
diviseur est n.
base 10
base 60
base 2
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Les ensembles de nombres
Les
entiers naturels 0,1,2,3,4, ... sont
les nombres les plus "simples", et
servent à dénombrer. Il y en a une
infinité.
Les
nombres décimaux sont ceux dont
l'écriture décimale s'arrête. Cette
écriture comporte une éventuelle
virgule.
Les
nombres, dont l'écriture décimale ne
s'arrête pas, ne sont pas décimaux. On
peut penser à 1,333333... (qui
comporte une infinité de 3 après la
virgule), et qui est le quotient
de la division décimale de 1 par 3. Le
célèbre nombre
pi
n'est pas décimal ; à ce jour, grâce
aux progrès en informatique, on
connaît plus de 50 milliards de
décimales de pi.
Comme
exercice, pouvez vous me dire si le
nombre 1,999... qui comporte une
infinité de chiffres 9 après la
virgule, est réellement un nombre
décimal ?
Les
nombres fractionnaires sont ceux qui
correspondent à un quotient d'une
division décimale. Ils peuvent
s'écrire sous la forme a/b où a et b
sont des entiers.
Certains
nombres non décimaux ont une écriture
fractionnaire.
C'est le
cas de 1,333...égal à 4/3.
pi n'est
pas un nombre fractionnaire.
L'ensemble
de tous ces nombres constitue les
nombres réels ... positifs. Les mêmes
nombres précédés d'un signe - sont des
réels négatifs.
Dès le
lycée, on qualifie certains nombres
d'imaginaires, et on rencontre un
nouveau nombre noté i dont le
carré est égal à -1. Ils sont très
utiles en électricité. D'autres
nombres encore, sur lesquels on peut
définir les quatre opérations
habituelles existent.
Parmi
les nombres réels, on peut signaler
:
- les
nombres pairs (divisibles par 2) et
impairs
- les
nombres premiers (divisibles par 1 et
lui même) très étudiés en
mathématiques
- les
nombres parfaits
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Des nombres célèbres
Lors de
vos études, vous rencontrerez des
nombres célèbres :
- le
nombre
dont une valeur approchée célèbre
est 3,14.
- le
nombre d'or qui n'est pas un nombre
décimal rencontré en arts ou
architecture
- le
nombre e
- le
nombre i
A propos du nombre pi :
Dès
l'école primaire, la plupart des
élèves savant que
3,14.
D'autres
savent que
3,14159.
En fait,
le nombre
n'est pas un nombre
décimal, et son écriture en base 10 ne
s'arrête jamais.
Voici un
moyen mnémotechnique pour retenir 31
décimales de
..
Il
suffit de compter le nombre de
chiffres de chaque mot du célèbre
poème suivant :
Que
j'aime à faire apprendre un
nombre utile aux sages
!
3
1 4
1
5
9
2
6
5
3
5
Glorieux
Archimède, artiste,
ingénieur,
8
9
7
9
Toi
de qui Syracuse aime encore la
gloire,
3
2 3
8
4
6
2
6
Soit
ton nom conservé par de
savants grimoires !
4
3
3
8
3
2
7
9
Essayez
avec :
- une
version anglaise : "May I have a
large container of coffee ?"
- une
version allemande : " Wie ? O!
Dies
, Macht ernstlich so wielen
viele Müh ! "
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