Les origines

Les nombres sont apparus par nécessité pratique il y a plus de 3000 ans avant J.C. Dans la vie quotidienne, ils pouvaient servir à compter des objets, des troupeaux , mesurer les dimensions d'un champ, ou peser les récoltes. A cette époque, les nombres étaient toujours liés à quelque chose de concret.

C'est en Grèce, environ 500 ans avant J.C.que les nombres ont acquis un statut d'êtres mathématiques abstraits, étudiés pour eux-mêmes. Les plus célèbres mathématiciens de cette époque,dont on parle au collège, sont Thalès de Milet (-625,-546),Pythagore de Samos (- 569 av JC,~ 500 av JC ), Euclide(3 ième siècle avant JC).

Des chiffres et des lettres ... pour former ... des nombres et des mots

En français, on regroupe certaines des 26 lettres de l'alphabet pour composer des mots : a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

En mathématiques, les 10 chiffres du système numérique servent à composer les nombres : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9.

Notons que, dans le langage courant, on confond parfois les notions de nombres et chiffres. Par exemple : "dans le monde, il y plusieurs millions d'infectés. Ce chiffre est important ...". On devrait dire :"Ce nombre est important ...".

Attention à ne pas confondre "chiffre des dizaines" et "nombre de dizaines" :

Le chiffres des dizaines de 259 est 5, alors que son nombre de dizaines est 259.

En effet 259 = 25 dizaines et 9 unités.

Les systèmes de numération

Lorsque nous écrivons 259, nous comptons dans le système en base 10 ou système décimal. Ce système qui semble naturel, car basé sur les 10 doigts des mains, permet d'écrire tous les nombres à l'aide de 10 symboles différents appelés chiffres.

1 dizaine = 10 unités

1 centaine = 10 dizaines = 100 unités

1 millier = 10 centaines = 1000 unités

259 (unités)  = ( 2 100) + (5 10) + ( 9 1)

                      =  2 centaines + 5 dizaines + 9 unités.

Dans le système en base 60 ou sexagésimal, il faut 60 symboles différents pour écrire tous les nombres. De nos jours, il sert essentiellement à mesurer des durées.

1 minute = 60 secondes

1 heure = 60 minutes = 3600 secondes

3875 (secondes) = (1 3600 s) + (4 60 s) + (35 1 s)

                             = 1 h + 4 min + 35 s

Le système en base 2 (ou binaire) est utilisé en informatique. Il n'utilise que 2 symboles différents 0 et 1 qui peuvent être représentés facilement par des supports physiques : interrupteur fermé et interrupteur ouvert. Je me souviens avoir aborder ce système à l'école maternelle, en assemblant des cubes jaunes sous forme de paquets de paquets de paquets de ... de 2 : (1 - 2 - 4 - 8 - 16 - 32 - 64 - 128 ...)

1 "deuxaine" = 2 unités

1 "quatraine" = 2 "deuxaines" = 4 unités

1011 en base 2 = (1 8) + (0 4) + (1 2) + (1 1)

                          = 11 en base 10           

Vous suivez ?

Dites à un informaticien "1024", il vous répondra "2 puissance 10". Il compte implicitement en base 2. C'est à dire : 1024 en base 10 = 10000000000 en base 2

Il existe une infinité de système de numération, base 2, base 3, base 4, base 5, ... Mais on peut penser aussi à d'autres sytèmes :

- les chiffres romains : I - II - III - IV - V - VI -VII -VIII -IX - X

- les hiéroglyphes en Egypte (3000 av JC)

- l'écriture cunéiforme à Babylone (1800 av JC)

Convertir

Pour convertir "à la main " un nombre de la base 10 à une base n (avec n <10) on effectue une suite de divisions euclidiennes dont le diviseur est n.

  base 10

base 60

  base 2

  Les ensembles de nombres

Les entiers naturels 0,1,2,3,4, ... sont les nombres les plus "simples", et servent à dénombrer. Il y en a une infinité.

Les nombres décimaux sont ceux dont l'écriture décimale s'arrête. Cette écriture comporte une éventuelle virgule.

Les nombres, dont l'écriture décimale ne s'arrête pas, ne sont pas décimaux. On peut penser à 1,333333... (qui comporte une infinité de 3 après la virgule), et qui est le quotient de la division décimale de 1 par 3. Le célèbre nombre   pi n'est pas décimal ; à ce jour, grâce aux progrès en informatique, on connaît plus de 50 milliards de décimales de pi.

Comme exercice, pouvez vous me dire si le nombre 1,999... qui comporte une infinité de chiffres 9 après la virgule, est réellement un nombre décimal ?

Les nombres fractionnaires sont ceux qui correspondent à un quotient d'une division décimale. Ils peuvent s'écrire sous la forme a/b où a et b sont des entiers.

Certains nombres non décimaux ont une écriture fractionnaire.

C'est le cas de 1,333...égal à 4/3.

pi n'est pas un nombre fractionnaire.

L'ensemble de tous ces nombres constitue les nombres réels ... positifs. Les mêmes nombres précédés d'un signe - sont des réels négatifs.

Dès le lycée, on qualifie certains nombres d'imaginaires, et on rencontre un nouveau nombre noté i dont le carré est égal à -1. Ils sont très utiles en électricité. D'autres nombres encore, sur lesquels on peut définir les quatre opérations habituelles existent.

Parmi les nombres réels, on peut signaler :

- les nombres pairs (divisibles par 2) et impairs

- les nombres premiers (divisibles par 1 et lui même) très étudiés en mathématiques

- les nombres parfaits

Des nombres célèbres

Lors de vos études, vous rencontrerez des nombres célèbres :

- le nombre dont une valeur approchée célèbre est 3,14.

- le nombre d'or qui n'est pas un nombre décimal rencontré en arts ou architecture

- le nombre e

- le nombre i

A propos du nombre pi :

Dès l'école primaire, la plupart des élèves savant que    3,14.

D'autres savent que    3,14159.

En fait, le nombre   n'est pas un nombre décimal, et son écriture en base 10 ne s'arrête jamais.

Voici un moyen mnémotechnique pour retenir 31 décimales de ..

Il suffit de compter le nombre de chiffres de chaque mot du célèbre poème suivant :

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !

  3   1  4    1   5       9            2     6         5    3    5

Glorieux Archimède, artiste, ingénieur,

     8              9             7          9

Toi de qui Syracuse aime encore la gloire,

  3   2   3        8         4       6       2   6

Soit ton nom conservé par de savants grimoires !

  4      3    3       8          3   2      7          9

Essayez avec :

- une version anglaise :  "May I have a large container of coffee ?"

- une version allemande :  " Wie ? O! Dies ,  Macht ernstlich so wielen viele Müh ! "