Les divisions euclidiennes et décimales - leçon

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Quelques cas particuliers

 

Pour diviser un nombre décimal par 10,100 ou 1000, on déplace la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche (en ajoutant d'éventuels zéros très utiles).

 

14,82 10 = 1,482

 

14,82 100 = 0,1482

 

14,82 1000 = 0,01482

 

Pas explicitement au programme : Pour diviser un nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ou 0,001, on déplace la virgule de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite (en ajoutant d'éventuels zéros très utiles). Cela revient à multiplier ce nombre par 10, 100 ou 1000.

 

14,82 0,1 = 14,82 10  = 148,2

 

14,82 0,01 = 14,82 100  = 1482

 

14,82 0,001 = 14,82 1000 = 14820

 

On ne pose jamais ce type d'opérations, dans lesquelles il suffit de déplacer une virgule.

 

Consulter le chapitre de 6e "Les écritures des nombres entiers et décimaux".

 

 

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 

1) Reconnaître les situations qui peuvent être traitées à l'aide d'une division euclidienne et interpréter les résultats obtenus.

 

2) Calculer le quotient et le reste d'une division d'un entier par un entier dans des cas simples (calcul mental, posé, instrumenté).

 

3) Connaître et utiliser le vocabulaire (dividende, diviseur, quotient, reste).

 

4) Connaître et utiliser les critères de divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9.

 

5) Calculer une valeur approchée décimale du quotient de deux entiers ou d'un décimal par un entier, dans des cas simples (calcul mental, posé, instrumenté).

 

6) Diviser par 10, 100, 1000.

 

 

Deux types de divisions pour deux types de problèmes

 

Divisions euclidiennes

Divisions décimales

 

Exemple de  problème

 

    5 enfants se partagent équitablement 74 billes.

    Combien de billes a chaque enfant ?

    Reste-t-il des billes non distribuées ?

    Si oui, combien ? Et combien de billes faudrait-t-il ajouter pour que toutes les billes soient distribuées ?

  

 

Recherche

 

 

5 1 = 5

5 2 = 10

5 3 = 15

5 4 = 20

5 5 = 52

5 6 = 30

5 7 = 35

5 8 = 40

5 9 = 45

5 10 = 50

 

 

5 11 = 55

5 12 = 60

5 13 = 65

5 14 = 70

5 15 = 75

5 16 = 80

5 17 = 85

5 18 = 90

5 19 = 95

5 20 = 100

 

 

Avec 74 billes, on peut faire 5 paquets de 14 billes (soit en tout 70 billes distribuées)

 

Il reste 4 billes. Il faudrait ajouter 1 bille au paquet pour que tout soit distribué.

 

On répond à ce type de problème en donnant au moins deux nombres entiers.

 

On effectuera donc une division euclidienne : comment partager 74 objets en 5 parts égales ?

 

 

Exemple de problème

 

    Marcel achète un ruban bleu de 74 cm de long.

    Il coupe ce ruban en 5 morceaux de même longueur.

    Quelle est la longueur exacte d'un morceau ?

 

 

 

 Recherche

 

On ne peut pas répondre 14 cm.

 

En effet, 5 morceaux de 14 cm chacun mesureraient seulement 70 cm.

 

Comme   4 14 = 70   et    4 15 = 75,on peut déjà répondre qu'un morceau mesurera entre 14 cm et 15 cm.

 

On répond à ce type de problème en donnant un seul nombre décimal (à virgule ici ).

 

On effectuera donc une division décimale : comment partager 74 en 5 parts égales ?

 

On commencera donc comme une division euclidienne.

 

 

 

 

 

 

Réponse au problème

 

 

Chaque enfant a 14 billes.

4 billes ne sont pas distribuées.

Il faudrait ajouter 1 bille pour que tout le paquet soit distribué.

 

 

Réponse au problème

 

 

Chacun des 5 morceaux mesure 14,8 cm exactement.

 

Cas général

 

 On considère deux nombres entiers a et b.

     

    Quand on effectue la division euclidienne de a par b,

     

    on trouve DEUX autres nombres ENTIERS q et r tels que :

     

    a  =  ( b    q )  +  r          avec          r  <  b

     

     

 Ici, on n'emploie pas le signe

 

 

Cas général

 

 On considère deux nombres décimaux a et b (nombres entiers ou non).

     

    Quand on effectue la division décimale de a par b,

     

    on trouve UN SEUL autre nombre DECIMAL q tel que :

     

    a  =  b    q

     

     

  Ici, on peut utiliser le signe et on peut écrire a b = q

  

Pour effectuer une division décimale, on commence comme une division euclidienne

 

 

 

Autre exemple :

 

Que faire quand la division ne tombe pas juste ?

 

    Marcel achète un ruban vert de 20 cm de long.

     Il coupe ce ruban en 3 morceaux de même longueur.

     Quelle est la longueur exacte d'un morceau ?

     

    On ne peut pas donner la valeur exacte d'un morceau.

    En effet, la réponse est le quotient de la division décimale de 20 par 3.

    On peut juste répondre qu'un morceau mesure 6,7 cm environ.

     

 

 

Diviseurs et multiples

 

 Traitons un cas particulier

     

    Si on effectue la division euclidienne de 116 par 2,

     

    on trouve 58 comme quotient et 0 comme reste.

     

     

    L'opération en ligne s'écrit : 116 = ( 2  58 ) + 0

     

    On écrit simplement :             116 = 2  58

     

    On dit que :

     

    - 116 est divisible par 2

     

    - 116 est un multiple de 2 (en effet, 116 est dans la table du 2)

     

    - 2 est un diviseur de 116

 

  Traitons le cas général

     

    On suppose qu'en effectuant la division euclidienne de a par b,

     

    on trouve q comme quotient et 0 comme reste.

     

     

    La division en ligne s'écrit : : a = ( b   q ) + 0

     

    On écrit simplement :              a = b q

     

    On dit que :

     

    - a est divisible par b

     

    - a est un multiple de b ( en effet, a est dans la table du b)

     

    - b est un diviseur de a

 

  Cas particuliers

     

    Si un nombre entier est un multiple de 2,alors on dit qu'il est pair.

    (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ... sont des nombres pairs)

     

    Si un nombre entier n'est pas un multiple de 2, alors on dit qu'il est impair.

    (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ... sont des nombres impairs)

 

 

Règles de divisibilité

 

 Un nombre entier est divisible :

 

    - par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 (c'est à dire pair)

     

    - par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3

     

    - par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5

     

    - par 9, si la somme de ses chiffres est un multiple de 9

     

    (hors programme) :

     

    - par 6 s’il est divisible par 2 et 3 à la fois

     

    - par 10 si son chiffre des unités est 0

     

    - par 11 si la différence entre la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de rang impair est un multiple de 11

 

Exemple

 

Sans poser aucune division, dire si 17214 est divisible par 2, 3, 5, 6, 9, 10 ou 11

 

Le chiffre des unités de 17214 est 4 donc :

 

    - 17214 est divisible par 2

    (on est sûr que 17214 = 2 un nombre entier précis)

     

    - 17214 n'est pas divisible par 5

    (on est sûr que 17214  5 nombre entier quelconque)

     

    - 17214 est divisible par 10

    (on est sûr que 17214  10 nombre entier quelconque)

 

Effectuons le somme des chiffres de 17214 : 1 + 7 + 2 + 1 + 4 = 15

 

    - 15 est un multiple de 3, donc 17214 est divisible par 3

    (on est sûr que 17214 = 3  un nombre entier précis)

     

    - 15 n'est pas un multiple de 9, donc 17214 n'est pas divisible par 9

    (on est sûr que 17214  9 nombre entier quelconque)

 

(hors programme) :

 

17214 est divisible par 2 et 3 donc :

 

    17214 est divisible par 6

    (on est sûr que 17214 = 6  un nombre entier précis)

 

La somme des chiffres de rang pair de 1 7 2 1 4  est 1 + 7 = 8

La somme des chiffres de rang impair de  1 7 2 1 4  est 4 + 2 + 1 = 7

La différence entre ces deux nombres est  8 -7 = 1 qui n'est pas divisible par 11 donc :

 

    17214 n'est pas divisible par 11

    (on est sûr que 17214  11 nombre entier quelconque)

 

 

Utilisation de la calculatrice

 

La calculatrice ne donne pas toujours les valeurs exactes des quotients des divisions décimales.

 

Par exemple, lorsqu'on tape 15 : 7 à la calculatrice TI-40 Collège II, 

 

on obtient 2,142 857 143 qui est une valeur arrondie du quotient au milliardième près !

 

En effet  2,142857143   7 = 14, 000000001 et pas 15.

 

Le quotient 15 : 7 n'est pas un nombre décimal ( l'écriture de ce nombre est infinie car il s'agit du nombre 2, 142857 142857 142857 .... où on retrouve le nombre 142857 écrit une infinité de fois).

 

La calculatrice, limitée par un affichage de 10 chiffres, est donc obligée d'arrondir ce nombre... au milliardième près.

 

 

 

 

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