Quelques cas particuliers
Pour diviser un
nombre décimal par 10,100 ou 1000, on
déplace la virgule de 1, 2 ou 3 rangs
vers la gauche (en ajoutant
d'éventuels zéros très
utiles).
14,82
10 = 1,482
14,82
100 = 0,1482
14,82
1000 = 0,01482
Pas explicitement au
programme : Pour diviser un
nombre décimal par 0,1 ; 0,01 ou
0,001, on déplace la virgule de 1, 2
ou 3 rangs vers la droite (en ajoutant
d'éventuels zéros très
utiles). Cela revient à multiplier ce
nombre par 10, 100 ou 1000.
14,82
0,1 = 14,82
10 = 148,2
14,82
0,01 = 14,82
100 = 1482
14,82
0,001 = 14,82 1000
= 14820
On ne pose jamais ce type
d'opérations, dans lesquelles il
suffit de déplacer une virgule.
Consulter
le chapitre de 6e "Les écritures des nombres entiers
et décimaux".
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Ce
qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre
1) Reconnaître
les situations qui peuvent être traitées à l'aide d'une
division euclidienne et interpréter les résultats
obtenus.
2)
Calculer le quotient et le reste d'une division
d'un entier par un entier dans des cas simples (calcul
mental, posé, instrumenté).
3)
Connaître et utiliser le vocabulaire (dividende,
diviseur, quotient, reste).
4)
Connaître et utiliser les critères de
divisibilité par 2, 4, 5, 3 et 9.
5)
Calculer une valeur approchée décimale du quotient
de deux entiers ou d'un décimal par un entier, dans
des cas simples (calcul mental, posé, instrumenté).
6)
Diviser par 10, 100, 1000.
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Deux
types de divisions pour deux types de problèmes
Divisions
euclidiennes
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Divisions
décimales
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Exemple
de problème
5
enfants se partagent équitablement 74
billes.
Combien
de billes a chaque enfant ?
Reste-t-il
des billes non distribuées ?
Si oui,
combien ? Et combien
de billes faudrait-t-il ajouter pour que
toutes les billes soient distribuées
?
Recherche
5
1 = 5
5
2 = 10
5
3 = 15
5
4 = 20
5
5 = 52
5
6 = 30
5
7 = 35
5
8 = 40
5
9 = 45
5
10 = 50
|
5
11 = 55
5
12 = 60
5
13 = 65
5
14 = 70
5
15 = 75
5
16 = 80
5
17 = 85
5
18 = 90
5
19 = 95
5
20 = 100
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Avec
74 billes, on peut faire 5 paquets de 14 billes
(soit en tout 70 billes distribuées)
Il
reste 4 billes. Il
faudrait ajouter 1 bille au paquet pour
que tout soit distribué.
On
répond à ce type de problème en donnant
au moins deux nombres entiers.
On
effectuera donc une division euclidienne
: comment partager 74 objets en 5 parts
égales
?
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Exemple
de problème
Marcel
achète un ruban bleu de 74 cm de
long.
Il
coupe ce ruban en 5 morceaux de même
longueur.
Quelle
est la longueur exacte d'un morceau
?
Recherche

On
ne peut pas répondre 14 cm.
En
effet, 5 morceaux de
14 cm chacun mesureraient seulement
70 cm.
Comme
4
14 = 70 et 4
15 = 75,on
peut déjà répondre qu'un morceau mesurera
entre 14 cm et 15 cm.
On
répond à ce type de problème en donnant
un seul nombre décimal (à virgule
ici ).
On
effectuera donc une division décimale
: comment partager 74 en 5 parts égales
?
On commencera donc comme une division
euclidienne.
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Réponse
au problème

Chaque
enfant a 14 billes.
4
billes ne sont pas distribuées.
Il
faudrait ajouter 1 bille pour que tout
le paquet soit distribué.
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Réponse
au problème

Chacun
des 5 morceaux mesure 14,8 cm exactement.
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Cas
général
On considère deux nombres entiers a et b.
Quand on effectue la division
euclidienne de a par b,
on trouve DEUX autres
nombres ENTIERS q et r tels que :
a
= ( b
q ) + r avec
r
< b

Ici, on n'emploie pas le signe
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Cas
général
On considère deux nombres décimaux a et b (nombres
entiers ou non).
Quand on effectue la division
décimale de a par b,
on trouve UN SEUL autre
nombre DECIMAL q tel que :
a
= b
q
Ici, on peut utiliser le signe
et on peut écrire a
b = q
Pour
effectuer une division décimale, on commence comme une
division euclidienne
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Autre
exemple :
Que
faire quand la division ne
tombe pas juste ?
Marcel
achète un ruban vert de 20 cm de
long.
Il
coupe ce ruban en 3 morceaux de même
longueur.
Quelle
est la longueur exacte d'un morceau
?
On
ne peut pas donner la valeur exacte
d'un morceau.
En
effet, la réponse est le quotient de
la division décimale de 20 par 3.
On
peut juste répondre qu'un morceau mesure
6,7 cm environ.


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Diviseurs
et multiples
Traitons un cas particulier
Si
on effectue la division euclidienne de 116 par 2,
on trouve 58 comme quotient et 0 comme reste.

L'opération
en ligne s'écrit : 116 = ( 2 58
) + 0
On
écrit simplement : 116 = 2 58
On
dit que :
-
116 est divisible par 2
-
116 est un multiple de 2 (en effet, 116 est dans
la table du 2)
-
2 est un diviseur de 116
Traitons le cas général
On
suppose qu'en effectuant la division euclidienne
de a par b,
on trouve q comme quotient
et 0 comme reste.

La
division en ligne s'écrit : : a = ( b q )
+ 0
On
écrit simplement : a = b q
On
dit que :
-
a est divisible par b
-
a est un multiple de b ( en effet, a est dans la table
du b)
-
b est un diviseur de a
Cas particuliers
Si
un nombre entier est un multiple de 2,alors
on dit qu'il est pair.
(0,
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ... sont des nombres pairs)
Si
un nombre entier n'est pas un multiple de 2,
alors on dit qu'il est impair.
(1,
3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ... sont des nombres impairs)
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Règles
de divisibilité
Un nombre entier est divisible
:
-
par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8
(c'est à dire pair)
-
par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple
de 3
-
par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5
-
par 9, si la somme de ses chiffres est un multiple
de 9
(hors
programme) :
-
par 6 s’il est divisible par 2 et 3 à la fois
-
par 10 si son chiffre des unités est 0
- par 11 si la différence entre la
somme des chiffres de rang pair et la somme
des chiffres de rang impair est un multiple de 11
Exemple
Sans
poser aucune division, dire si 17214 est divisible par
2, 3, 5, 6, 9, 10 ou 11
Le
chiffre des unités de 17214 est 4 donc :
-
17214 est divisible par 2
(on
est sûr que 17214 = 2
un nombre entier précis)
-
17214 n'est pas divisible par 5
(on
est sûr que 17214 5
nombre entier quelconque)
-
17214 est divisible par 10
(on
est sûr que 17214 10
nombre entier quelconque)
Effectuons
le somme des chiffres de 17214 : 1 + 7
+ 2 + 1 + 4 = 15
-
15 est un multiple de 3, donc 17214 est divisible
par 3
(on
est sûr que 17214 = 3
un nombre entier précis)
-
15 n'est pas un multiple de 9, donc 17214 n'est
pas divisible par 9
(on
est sûr que 17214 9
nombre entier quelconque)
(hors
programme) :
17214
est divisible par 2 et 3 donc :
17214
est divisible par 6
(on
est sûr que 17214 = 6
un nombre entier précis)
La
somme des chiffres de rang pair de
1
7
2
1
4
est 1
+ 7 = 8
La
somme des chiffres de rang impair de 1
7
2
1
4
est 4
+ 2 + 1 = 7
La
différence entre ces deux nombres est 8 -7 = 1
qui n'est pas divisible par 11 donc :
17214
n'est pas divisible par 11
(on
est sûr que 17214 11
nombre entier quelconque)
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Utilisation de la calculatrice
La calculatrice ne donne pas toujours les valeurs exactes
des quotients des divisions décimales.
Par
exemple, lorsqu'on tape 15 : 7 à la calculatrice TI-40
Collège II,
on
obtient 2,142 857 143 qui est une valeur arrondie du quotient
au milliardième près !
En
effet 2,142857143
7 = 14, 000000001 et pas 15.
Le quotient 15 : 7 n'est pas un nombre décimal ( l'écriture
de ce nombre est infinie car il s'agit du nombre 2,
142857 142857 142857 .... où on retrouve le nombre 142857
écrit une infinité de fois).
La
calculatrice, limitée par un affichage de 10 chiffres,
est donc obligée d'arrondir ce nombre... au milliardième
près.
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