Les constructions à la règle et à l'équerre

Les constructions à la règle et à l'équerre

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Des rues parallèles et perpendiculaires à d'autres sur un plan

Sur le plan ci-dessous, on constate que :

- les rues Aristide Briand et Félix Faure sont parallèles.

- les rues Edouard Herriot et René Coty sont perpendiculaires.

Deux déplacement possibles :

En partant de l'école, si je prends la rue parallèle à la rue Jules Méline, j'arrive au collège.

En partant de l'école, si je prends la rue perpendiculaire à la rue Jules Méline, j'arrive à la prison.

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

1) Utiliser différentes méthodes pour : tracer , par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée.

2) Connaître les propriétés relatives aux côtés (...) pour les quadrilatères suivants : le rectangle, le losange, le carré (...).

3) Connaître les propriétés relatives aux côtés (...) des triangles suivants : triangle rectangle (...).

4) Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire ces figures.

5) Utiliser en situation (en particulier pour décrire une figure), le vocabulaire suivant : droite, droites perpendiculaires, droites parallèles (...).

6) Utiliser des lettres pour désigner les points d'une figure ou un élément de cette figure (segment, sous-figure ...).

Certaines de ces compétences sont seulement abordées dans ce chapitre et seront développées ou complétées dans d'autres chapitres. Elles comportent des pointillés (...).

Des droites sécantes, perpendiculaires et parallèles

On peut étudier la position d'une droite par rapport à une autre dans les exercices de géométrie.

Deux droites peuvent être sécantes ou bien parallèles. Aucune autre position n'est possible.

droites sécantes

droites parallèles

Deux droites sécantes sont deux droites qui ont un seul point commun.

On rappelle que le point qui appartient aux deux droites est appelé le point d'intersection des deux droites.

Cas particulier de droites sécantes

Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui forment quatre angles droits.

Deux droites parallèles sont deux droites qui ne sont pas sécantes.*

Deux droites parallèles peuvent être :

- distinctes (ou bien différentes). Dans ce cas, elles n'ont aucun point commun.

- confondues (ce sont les mêmes droites). Dans ce cas elles ont une infinité de point commun.

Remarque

Si les droites sont distinctes, alors elles ont un écartement constant.

* c'est une définition possible

on code la figure avec un

seul angle droit

il n' y a pas de codage

les droites (d₁) et (d₂)

sont sécantes

mais elles ne sont pas

perpendiculaires

Il n'existe pas de

notation

mathématique

précise

les droites (d₁) et (d₂)

sont sécantes

et perpendiculaires

On peut écrire :

(d₁) (d₂)

les droites (d₁) et (d₂)

sont parallèles

On peut écrire :

(d₁) // (d₂)

Première construction importante : tracer une droite perpendiculaire à une autre

Avec une règle non graduée et une équerre, tracer UNE droite perpendiculaire à ( d ) . L'appeler ( d' ).

Pourquoi UNE ? Parce qu'on peut tracer une infinité de droites perpendiculaires à ( d )

Les droites (d'), (d'') et (d''') sont toutes les trois perpendiculaires à (d)

Avec une règle non graduée et une équerre, tracer LA droite perpendiculaire à ( d ) passant par A. L'appeler ( d' ).

Pourquoi LA ? Parce qu'on ne peut tracer qu'une seule droite perpendiculaire à (d ) passant par A.

Premier cas :

le point A appartient à la droite ( d )

Deuxième cas :

le point A n'appartient pas à la droite ( d )

animation disponible

Trois propriétés de géométrie

Voici une première façon de démontrer que deux droites sont parallèles.

(1) Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.

Dans un exercice, on écrira une démonstration du type :

Je sais que : ( d1 ) // ( d3 )

( d2 ) // ( d3 )

J'en conclus que : ( d1 ) // ( d2 )

Propriété utilisée : propriété ( 1 )

Voici une deuxième façon de démontrer que deux droites sont parallèles.

(2) Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite, alors elles sont parallèles.

Dans un exercice, on écrira une démonstration du type :

Je sais que : ( d1 ) ( d3 )

( d2 ) ( d3 )

J'en conclus que : ( d1 ) // ( d2 )

Propriété utilisée : propriété ( 2 )

Voici une façon de démontrer que deux droites sont perpendiculaires.

(3) Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre.

Dans un exercice, on écrira une démonstration du type :

Je sais que : ( d1 ) // ( d2 )

( d3 ) ( d1 )

J'en conclus que : ( d3 ) ( d2 )

Propriété utilisée : propriété ( 3 )

Deuxième construction importante : tracer une droite parallèle à une autre

Avec une règle non graduée et une équerre, tracer UNE droite parallèle à ( d ). L'appeler ( d'' ).

Pourquoi UNE ? Parce qu'on peut tracer une infinité de droites parallèles à ( d )

RETENIR LA METHODE

pour tracer une droite parallèle, on trace deux droites perpendiculaires successives

( 1 ) Je trace une droite perpendiculaire à ( d ) . Je l'appelle ( d ' ).

( 2 ) Je trace une droite perpendiculaire à ( d' ). Je l'appelle ( d'' ).

( 3 ) La droite ( d'' ) est parallèle à (d ).

La propriété (2) permet de justifier la méthode.

Avec une règle non graduée et une équerre, tracer LA droite parallèle à ( d ) passant par A. L'appeler ( d'' ).

Pourquoi LA ? Parce qu'on ne peut tracer qu'une seule droite parallèle à (d).

RETENIR LA METHODE

pour tracer une droite parallèle, on trace deux droites perpendiculaires successives

( 1 ) Je trace une droite perpendiculaire à ( d ) . Je l'appelle ( d' ).

Cette droite ne passe pas nécessairement par la point A.

( 2 ) Je trace la droite perpendiculaire à ( d' ) passant par A. Je l'appelle ( d'' ).

( 3 ) La droite ( d'' ) est parallèle à ( d ).

La propriété (2) permet de justifier la méthode.

Encore un triangle particulier

Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.

Le côté opposé à l'angle droit s'appelle l'hypoténuse.

Remarque :

Le mot HYPOTENUSE s'écrit sans H après le T.

On code la figure pour montrer la position de l'angle droit.

Pour préciser que le sommet de l'angle droit est A,

on dit que :

ABC est un triangle rectangle en A

Des quadrilatères particuliers

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

Remarque :

On pourrait utiliser aussi la définition plus restrictive suivante :

Un rectangle est un quadrilatère qui a trois angles droits.

Deux propriétés des rectangles

Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires.

Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses côtés opposés sont parallèles et ont la même longueur.

Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur.

Une propriété des losanges

Si un quadrilatère est un losange, alors ses côtés opposés sont parallèles et ses quatre côtés ont la même longueur.

Un carré est un quadrilatère qui a quatre angles droits et quatre côtés de même longueur.

Remarque :

Un carré est un rectangle particulier et un losange particulier.

Deux propriétés des carrés

Si un quadrilatère est un carré, alors ses côtés consécutifs sont perpendiculaires.

Si un quadrilatère est un carré, alors ses côtés opposés sont parallèles et ses quatre côtés ont la même longueur.