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Introduction
Lorsque Gustave veut se rendre jusqu'à la maison
B à partir de la maison A en parcourant la distance
la plus petite possible, il parcourt le segment [AB]
dont la longueur est AB.
S'il effectue un détour vers la fleur
C, il parcourt alors une distance plus grande, quelque
soit la forme du parcours.
On a donc l'inégalité AB < AC + CB
Peut-on placer la fleur C pour que AB = AC + CB ?
Peut-on placer la fleur C pour que AB > AC +
CB ?
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Ce qu'il faut savoir
faire à la fin du chapitre
1) Connaître et utiliser l'inégalité
triangulaire.
2) Construire un triangle connaissant :
- la longueur d'un côté et les deux angles
qui lui sont adjacents.
- les longueurs de deux côtés et l'angle compris
entre ces deux côtés.
- les longueurs des trois côtés.
3) Sur papier uni, reproduire un angle au
compas.
4) Maîtriser l'utilisation du rapporteur.
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Inégalité triangulaire
On rappelle que la distance entre les points A et B
se note AB sans crochet, sans parenthèse. C'est un nombre
suivi d'une unité.
Par exemple AB = 5 cm.
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Distance entre trois points
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On suppose
que A, B et C sont trois points
Si C
n'appartient pas au segment [AB], alors AB < AC + CB
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On
suppose que A, B et C sont trois
points
Si C
appartient au segment [AB], alors AB =
AC + CB
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Exemples :
Sur la figure, on sait que
: C 
[ A B]
AB = 6 cm
AC + CB = 2 cm + 3 cm = 5
cm
On conclut que : AB
< AC + CB
Sur la figure, on sait que
: C
[ A B]
en effet, le point C est
à droite du point B
AB = 6 cm
AC + CB = 7 cm + 1 cm = 8
cm
On conclut que : AB <
AC + CB
Sur la figure, on sait que
: C
[ A B]
en effet, le point C est
à gauche du point A
AB = 6 cm
AC + CB = 1 cm + 7 cm = 8
cm
On conclut que : AB <
AC + CB
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Exemple :
Sur la figure, on sait que
: C  [
A B]
AB = 6 cm
AC + CB = 2 cm + 4 cm
= 6 cm
On conclut que : AB = AC
+ CB
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On peut
résumer
Si A, B et C sont trois points,
alors AB 
AC + CB
AB
= AC + CB seulement si C appartient
à [AB]
Conséquence
Il est
impossible de placer trois points
A, B et C tels que AB > AC
+ CB
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Inégalité triangulaire
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On considère q'un triangle est
formé par trois points non alignés.
Ces trois points sont d'ailleurs
appelés les sommets du triangle.
Si trois points forment un triangle,
alors la longueur de chaque
côté est inférieure à la somme
des deux autres.
" inégalité " car
on utilise le signe du crocodile
<
"
triangulaire " fait référence
au triangle
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On sait que : ABC est un triangle
On conclut que :
AB < AC + CB
AC < AB + BC
BC < BA + AC
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Comment
prévoir si on peut construire
un triangle
connaissant les longueurs des trois
côtés ?
On peut construire un triangle dont
les côtés ont pour longueurs trois
nombres donnés,
si le plus grand des
trois nombres est
inférieur à la somme des deux
autres.
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Peut-on construire
un triangle dont les côtés
mesurent 6
cm, 1,5 cm et 3 cm ?
Non car :
- 6 cm est la plus grande
longueur
- 6 > 1,5 + 3
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figure inutile si on sait
que la construction est impossible
les cercles n'ont pas de
point commun
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Peut-on construire
un triangle dont les côtés
mesurent 6
cm, 3,5 cm et 2,5 cm
?
Non car :
- 6 cm est la plus grande
longueur
- 6 = 3,5 + 2,5
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figure inutile si on sait
que la construction est impossible
les cercles ont un seul point
commun sur le segment de 6 cm
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Peut-on construire
un triangle dont les côtés
mesurent 5
cm, 6 cm et 4 cm
?
Oui car :
- 6 cm est la plus grande
longueur
- 6 < 5 + 4
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figure à réaliser après les
calculs effectués
les cercles ont deux points
communs qui ne sont pas sur
le segment de 6 cm
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Construire un triangle
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Pour construire un triangle quelconque,
il est nécessaire de connaître 3 mesures
:
- 3 longueurs de côté
- 2 longueurs de côté et
une mesure d'angle
- 1 longueur de côté et 2
mesures d'angle
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D'abord
une figure à main levée
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Construire
un triangle ABC tel que :
AB = 6 cm,
AC =
5 cm et BC = 4 cm
(1) Je
trace un segment [AB] de 6 cm de
long
(2) Je
trace un arc de cercle de centre A et
de rayon 5 cm
(3) Je
trace un arc de cercle de centre B et
de rayon 4 cm
(4)
J'appelle C le point d'intersection
des deux arcs
(5) Je
trace les segments [AC] et [BC]
Remarque
: on trace en premier le plus grand côté
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D'abord
une figure à main levée
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Construire
un triangle ABC tel que :
AB = 6 cm,
AC =
5 cm et
 °
(1) Je
trace un segment [AB] de 6 cm de
long
(2) Je
trace une demi-droite [Ax) telle que
 °
(3) Sur
[Ax), je place le point C tel que AC =
5 cm
(4) Je
trace le segment [BC]
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D'abord une figure à main levée
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Construire un triangle ABC tel
que :
AB = 6 cm,
 ° et
 °
Il
faut se souvenir qu'un angle de 110° est obtus (plus
grand qu'un angle droit); il faut donc utiliser
la graduation 0° du rapporteur adéquate.
(1) Je
trace un segment [AB] de 6 cm de
long
(2) Je
trace une demi-droite [Ax) telle que
 °
(3) Je
trace une demi-droite [By) telle que
 °
(3)
J'appelle C le point d'intersection
des deux droites
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Reproduire un angle
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Reproduire un angle (dont on ne connaît
pas la mesure) avec un compas revient à
construire un triangle.
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Reproduire l'angle revient à construire
le triangle OAB
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Reproduire l'angle
avec une règle non
graduée et un compas
(1) Je trace une demi-droite [ O' z)
(2) Je trace un arc de cercle de centre
O et de rayon quelconque
J'appelle
A et B les points d'intersection de cet
arc avec les côtés de l'angle
(3) Je trace un arc de cercle de centre
O' et de même rayon
J'appelle
A' le point d'intersection de cet arc avec
la demi-droite [O' z)
(4) Je trace un arc de cercle de centre
A' et de rayon AB
J'appelle
B' l'intersection des deux derniers arcs
de cercle tracés
(5) Je trace la demi-droite [O' t) d'origine
O' et passant par B'
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Triangles particuliers
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Un triangle rectangle est un triangle
qui a un angle droit.
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Un triangle isocèle est un triangle
qui a deux côtés de même longueur.
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Un triangle équilatéral est un triangle
qui a trois côtés de même longueur.
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On code la figure pour montrer la position de
l'angle droit.
Pour préciser que le sommet de
l'angle droit est E,
on dit que :
EFG est un triangle rectangle en
E.
Le
segment [ G F ] est l'hypoténuse.
Les
segments [ E G ] et [ E F ] sont les côtés
de l'angle droit.
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On code la figure pour montrer que PQ
= PR
Le segment [ Q R ] est la base
du triangle
Le point P est le sommet
principal
Pour préciser que le sommet principal est P,
on dit que :
PQR est un triangle isocèle en
P.
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On code la figure pour montrer que MN = NO =
OM
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En général, pour construire ces triangles,
il n'est plus nécessaire de connaître 3
mesures (2 mesures au maximum suffisent).
Par exemple, on peut construire :
- un triangle EFG rectangle
en E tel que : EG = 3 cm et EF = 4 cm
- un triangle PQR isocèle
en P tel que : PQ = 5 cm et  °
- un triangle équilatéral
tel que : MN = 6 cm
A ce sujet, on pourra consulter le chapitre
de cinquième relatif aux angles d'un triangle.
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