Les triangles : droites remarquables - leçon

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Introduction

 

Comment retrouver la position exacte du centre du cercle en utilisant les outils de géométrie ?

introduction

 

 

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 

1) Construire le cercle circonscrit à un triangle.

 

2) Connaître et utiliser la définition d'une médiane et d'une hauteur d'un triangle.

 

 

Des rappels sur la médiatrice d'un segment

 

 

 

Définition

 

La médiatrice d'un segment est

la droite perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu

 

 

 

La droite (d) est la médiatrice du segment [AB]

 

 

Deux propriétés métriques

 

 

Propriété 1

 

Si un point appartient à la médiatrice d'un segment,

alors il est équidistant des extrémités du segment.

 

 

Propriété 2

 

Si un point est équidistant des extrémités d'un segment,

alors il appartient à la médiatrice du segment.

   

 

 

 

On sait que :  

(d) médiatrice de [AB]

M   (d)

On conclut que :  

MA = MB

Propriété utilisée :  

propriété (1)

 

Une démonstration à un pas

 

 

On sait que :  

(d) médiatrice de [AB]

MA = MB

On conclut que :  

M (d)

Propriété utilisée :  

propriété (2)

 

Une démonstration à un pas

 

 

Deux constructions possibles

 

 

Construction à la règle graduée et l'équerre

de la médiatrice de [AB]

 

On applique directement la définition d'une médiatrice.

 

(1) Je place le milieu I de [AB]

 

(2) Je trace la droite (d) perpendiculaire à (AB) passant par I

 

(3) La droite (d) est la médiatrice de [AB]

 

 

Construction au compas

de la médiatrice de [AB]

 

(conséquence immédiate de la propriété 2)

    L'idée est de placer deux points équidistants des extrémités A et B.

 

(1) Je trace deux arcs de cercle de centre A et B et de même rayon

 

(2) J'appelle M le point d'intersection des deux arcs

 

(3) Je trace deux arcs de cercle de centre A et B et de même rayon (même qu'avant ou différent)

 

(4) J'appelle N le point d'intersection des deux arcs

 

(5) Je trace la droite (MN) qui est la médiatrice de [AB]

 

 

construction

 

 

construction

 

 

 

Médiatrices d'un triangle

 

On appelle naturellement UNE médiatrice d'un triangle la médiatrice de l'UN de ses côtés.

 

Un triangle a trois côtés ; il a donc trois médiatrices.

 

Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un même point ; on dit qu'elles sont concourantes.

 

Ce point d'intersection est le centre de l'unique cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

 

Ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle.

 

 

Cas où le triangle a trois angles aigus

 

cercle circonscrit

 

Le centre du cercle circonscrit est à l'intérieur du triangle

 

 

Cas où le triangle a un angle obtus

 

cercle circonscrit

 

Le centre du cercle circonscrit est à l'extérieur du triangle

 

 

Remarque :

 

Dans un exercice, si on demande de placer le centre du cercle circonscrit d'un triangle, il suffit de tracer deux médiatrices seulement.

 

 

D'autres droites remarquables

 

 

Médiane

 

Une médiane d'un triangle est une droite

qui passe par un sommet

et le milieu du côté opposé à ce sommet.

 

médiane

 

La droite (AM) est la médiane relative au côté [BC]

 

ou

 

La droite (AM) est la médiane issue du sommet A

 

 

Hauteur

 

Une hauteur d'un triangle est une droite

qui passe par un sommet

et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

 

hauteur

 

La droite (AH) est la hauteur relative au côté [BC]

 

ou

 

La droite (AH) est la hauteur issue du sommet A

 

Le point H est le pied de cette hauteur

 

Propriétés ( à traiter en activité)

 

Comme pour les médiatrices, on constate que :

 

- les trois médianes d'un triangle sont concourantes

 

- les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes

 

Ces résultats seront démontré en classe de quatrième.

 

médianes

hauteurs

 

Utilité de ces droites en cinquième : on pourra consulter le chapitre relatif aux périmètres et aires.

 

 

Triangles particuliers

 

 

Triangle isocèle

 

Si un triangle est isocèle alors :

 

(1) la médiatrice de sa base :

 

  - passe par le sommet principal et le milieu de la base

 

  - est la médiane relative à la base

 

  - est la hauteur issue du sommet principal

 

(2) la médiatrice de sa base est le seul axe de symétrie du triangle

 

(3) les angles à la base du triangle sont égaux

 

 

Triangle équilatéral

 

 Si un triangle est équilatéral alors :

 

(1) chacune des trois médiatrices :

 

  - passe par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet

 

  - est une médiane du triangle

 

  - est une hauteur du triangle

 

(2) les trois médiatrices sont les axes de symétrie du triangle

 

(3) les trois angles sont égaux (et mesurent ...)

 

 

Triangle rectangle

 

Consulter le progamme de quatrième.

 

 triangle isocèle

 

 triangle équilatéral

 

 

 

 

Trouver le centre d'un cercle avec les outils de géométrie

 

 

Pour trouver la position d'un cercle avec les outils de géométrie :

 

(1) Je place trois points A,B et C sur le cercle.

 

(2) Je trace les médiatrices des segments [AB] et [AC].

 

(3) J'appelle O le point d'intersection de ces médiatrices.

 

(4) Le point O est le centre du cercle.

 

10/2006