Les nombres relatifs : opérations - leçon

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Introduction

 

Les nombres relatifs pour effectuer un calcul sur les températures.

 

Aujourd'hui, il fait 7°C. La température baisse de 5°C.

On résume cette situation par la soustraction 7 - 5.

Quel est le résultat de cette opération ?

 

Aujourd'hui, il fait 5°C. La température baisse de 7°C.

On résume cette situation par la soustraction 5 - 7.

Peut-on deviner le résultat de cette opération ?

 

 

Les nombres relatifs pour compléter une égalité à trou  ou équation.

 

Peut-on trouver le nombre inconnu dans l'égalité à trou : 7 + ....... = 9 ?

 

Peut-on trouver le nombre inconnu dans l'égalité à trou : 7 + ....... = 5 ?

 

 

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 

1) Calculer la somme ou la différence de deux nombres relatifs.

 

2) Utiliser la notion d'opposé.

 

3) Calculer, sur des exemples numériques, une expression dans laquelle interviennent uniquement les signes +, - et éventuellement des parenthèses.

 

4) Sur des exemples numériques, écrire en utilisant correctement des parenthèses, un programme de calcul portant sur des sommes ou des différences de nombres relatifs.

 

5) Sur une droite graduée, déterminer la distance de deux points d'abscisses données.

 

 

Une activité avec des gains et des pertes pour comprendre l'addition de deux nombres relatifs

 

Marcel participe à plusieurs parties d'un jeu où il peut gagner ou perdre des euros. Chaque partie est composée de deux manches.

 

Au cours de la première partie,

Marcel gagne 4 € puis il gagne encore 5 €. Finalement, il gagne donc 9 €.

On peut représenter le gain de 4 € par (+ 4) et  le gain de 5 € par (+ 5). Finalement, le bilan est ( + 9).

On résume la situation en écrivant :

 

( + 4 ) + ( + 5 ) = + 9

 

Au cours de la deuxième partie,

Marcel  perd 4 € puis il perd encore 5 €. Finalement, il  perd donc 9 €.

On peut représenter la perte de 4 € par (- 4) et  la perte de 5 € par (- 5). Finalement, le bilan est ( - 9).

On résume la situation en écrivant :

 

( - 4 ) + ( - 5 ) = - 9

 

Au cours de la troisième partie,

Marcel gagne 4 € puis il perd 5 €. Finalement, il  perd donc 1 €.

On peut représenter le gain de 4 € par (+ 4) et  la perte de 5 € par (- 5). Finalement, le bilan est ( - 1).

On résume la situation en écrivant :

 

( + 4 ) + ( - 5 ) = - 1

 

Au cours de la quatrième partie,

Marcel  perd 4 € puis il gagne 5 €. Finalement, il gagne donc 1 €.

On peut représenter la perte de 4 € par (- 4) et  le gain de 5 € par (+ 5). Finalement, le bilan est ( + 1).

On résume la situation en écrivant :

 

( - 4 ) + ( + 5 ) = + 1

 

 

Somme de DEUX nombres relatifs

 

 

 Règle 1

 

Pour additionner deux nombres relatifs qui ont le même signe :

 

 - on additionne leur distance à zéro*

 

 - on donne au résultat le signe commun des deux nombres

 

 

* la distance à zéro d'un nombre est ce nombre sans son signe.

Par exemple, la distance à zéro de -6 est 6, et la distance à zéro de +7 est 7.

 

 

Règle 2

 

Pour additionner deux nombres relatifs qui ont des signes différents :

 

 - on soustrait la plus petite distance à zéro à la plus grande

 

 - on donne au résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro

 

 

Exemples

 

( + 3 )

+

( + 7 )

=

+ 10

je gagne 3

puis

je gagne 7

bilan

je gagne 10

( - 4 )

+

( - 5 )

=

- 9

je perds 4

puis

je perds 5

bilan

je perds 9

 

 

( + 2 )

+

( + 5 )

=

+ 7

( - 2 )

+

( - 5 )

=

- 7

( + 10 )

+

( + 3 )

=

+ 13

( - 10 )

+

( - 3 )

=

- 13

 

 

Exemples

 

( + 3 )

+

( - 7 )

=

- 4

je gagne 3

puis

je perds 7

bilan

je perds 4

( - 4 )

+

( + 5 )

=

+ 1

je perds 4

puis

je gagne 5

bilan

je gagne 1

 

 

( + 2 )

+

( - 5 )

=

- 3

( - 2 )

+

( + 5 )

=

+ 3

( + 10 )

+

( - 3 )

=

+ 7

( - 10 )

+

( + 3 )

=

- 7

 

 

 Règle 3

 

La somme de deux nombres opposés est égale à zéro.

 

 

Exemples

 

( + 2 ) + ( - 2 ) = 0                ( - 3,5 ) + ( + 3,5 ) = 0

 

 

 

Somme de PLUSIEURS nombres relatifs

 

 Règle 4

 

Pour additionner plusieurs nombres relatifs :

 

 - on regroupe les nombres opposés entre eux

 

 -on regroupe les nombres positifs entre eux

 

- on regroupe les nombres négatifs entre eux

 

Exemples

 

 

A = ( + 3 ) + ( - 2 ) + ( + 5 ) + ( - 7 ) + ( - 4 )

 

A = ( + 3 ) + ( + 5 ) + ( - 2 )+ ( - 7 ) + ( - 4 )

 

A = ( + 8 ) + ( - 13 )

 

A = - 5

 

 

B = ( - 3) + ( + 5 )  + ( - 2) + ( - 7 ) + ( - 5 ) + ( + 9) + ( + 3 )

 

B = ( - 3 ) + ( + 3 ) + ( + 5 ) + ( - 5 ) + ( - 2 ) + ( - 7 ) + ( + 9 ) + ( + 3 )

 

B = 0 + 0 + ( - 5 ) + ( + 12 )

 

B = + 7

 

B = 7

 

 

 

 

Première simplification partielle d'une somme

 

 Règle 5

 

Pour simplifier partiellement une somme d'un ou plusieurs nombres relatifs, on peut :

 

- supprimer les signes + et les parenthèses des nombres positifs

 

- supprimer les parenthèses du premier nombre s'il est négatif

  

Exemples de simplification partielle (on peut encore améliorer * )

 

( + 3 ) + ( + 8 )

=

 3 + 8

 

( + 3 ) + ( + 8 ) + ( + 4 )

=

3 + 8 + 4

( - 3 ) + ( - 8 )

=

-3 + ( - 8)

 

( - 3 ) + ( - 8 ) + ( - 4 )

=

 -3 + ( - 8 ) + ( - 4 )

( + 3 ) + ( - 8 )

=

 3 + ( - 8 )

 

( + 3 ) + ( - 8 )  + ( + 4 )

=

3 + ( - 8 ) + 4

( - 3 ) + ( + 8 )

=

 - 3 + 8

 

( - 3 ) + ( + 8 ) + ( - 4 )

=

 - 3 + 8 + ( - 4)

 

* Pour donner du sens à une simplification complète (sans aucune parenthèse) et non artificielle,

je fais le choix d'utiliser les règles de la soustraction. Pour comprendre ce type de simplification complète, il faut donc attendre un peu.

 

 

 

Différence de DEUX nombres relatifs

 Règle 6

 

Pour soustraire un nombre relatif à un autre, on additionne son opposé.

  

Exemples

 

 ( + 2 ) - ( + 8 )

=

( + 2 ) + ( + 8 )

=

+ 10

( - 1 ) - ( + 8 )

=

 ( - 1 ) + ( - 8)

=

- 9

( - 3 ) - ( - 9 )

=

( - 3 ) + ( + 9 )

=

+ 6

( - 2 ) - ( + 9 )

=

( - 2 ) + ( - 8 )

=

- 10

 

Remarque importante

 

Ainsi, à une soustraction, il "correspond "toujours une addition.

( on dira que pour soustraire, on additionne l'opposé ...)

 

Par exemple :

 

La soustraction ( + 2 ) - ( + 8 ) revient à l'addition ( + 2 ) + ( - 8 )

 

Mais inversement :

 

A une addition, il "correspond" toujours une soustraction.

( on dira que pour additionner, on soustrait l'opposé ...)

 

Par exemple :

 

L'addition ( + 6 ) + ( - 7 ) revient à la soustraction ( + 6 ) - ( + 7 )

 

 

 

Écriture simplifiée d'une somme ou d'une différence sans AUCUNE parenthèses

 

Déjà pour les sommes

 

Écriture avec des parenthèses

 

Écriture sans parenthèses

Explications

( + 3 ) + ( + 8 )

=

3 + 8

on peut supprimer le signe + des nombres positifs

( + 3 ) + ( -  8 )

=

3 - 8

à une addition correspond une soustraction

puis on peut supprimer le signe + des nombres positifs

( + 3 ) + ( - 8 ) = ( + 3 ) - ( + 8 ) = 3 - 8

( - 3 ) + ( + 8)

=

- 3 + 8

on peut supprimer le signe + des nombres positifs

et les parenthèses du premier nombre s'il est négatif

( - 3 ) + ( - 8 )

=

- 3 - 8

à une addition correspond une soustraction

puis on peut supprimer le signe + des nombres positifs

( -  3 ) + ( - 8 ) =  ( -3 ) - ( + 8 ) = -3 - 8

 

Ensuite pour les différences

 

Écriture avec des parenthèses

 

Écriture sans parenthèses

Explications

( + 3 ) - ( + 8 )

=

3 - 8

on peut supprimer le signe + des nombres positifs

( + 3 ) - ( -  8 )

=

3 + 8

à une soustraction correspond une addition

puis on peut supprimer le signe + des nombres positifs

( + 3 ) - ( - 8 ) = ( + 3 ) + ( + 8 ) = 3 + 8

( - 3 ) - ( + 8)

=

- 3 - 8

on peut supprimer le signe + des nombres positifs

et les parenthèses du premier nombre s'il est négatif

( - 3 ) - ( - 8 )

=

- 3 + 8

à une soustraction correspond une addition

puis on peut supprimer le signe + des nombres positifs

et les parenthèses du premier nombre s'il est négatif

( - 3 ) - ( - 8 ) = ( - 3 ) + ( + 8 ) = - 3 + 8

 

Inversement

 

3 + 8

peut être considéré comme l'addition

( + 3) + ( + 8 )

ou comme la soustraction

 ( + 3) - ( - 8 )

3 - 8

peut être considéré comme l'addition

( + 3) +  ( - 8 )

ou comme la soustraction

 ( + 3) - ( + 8 )

- 3 + 8

peut être considéré comme l'addition

 ( - 3) + ( + 8 )

ou comme la soustraction

( - 3) - ( - 8 )

- 3 - 8

peut être considéré comme l'addition

( - 3) + ( - 8)

ou comme la soustraction

 ( - 3) - ( + 8 )

 

 

Somme algébrique

 

 Une somme algébrique est une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs.

 

 Règle 7

 

Pour calculer une somme algébrique,

 

- on remplace chaque soustraction par l'addition du nombre opposé

 

- on effectue des regroupements pour calculer la somme obtenue

 

 

Exemples

 

 

C = ( + 6) - ( + 7) + ( - 9) - ( - 8) + ( - 5)

 

C = ( + 6 ) + ( - 7 ) + ( - 9) + ( + 8) + ( - 5)

 

C = ( + 6 ) + ( + 8 ) + ( - 7 ) + ( - 9 ) + ( - 5 )

 

C = ( + 14 ) + ( - 21)

 

C = - 7

 

 

D = - 5 + 4 - 3 - 27 + 18

 

On effectue immédiatement

des regroupements

 

D = - 5 - 3 - 27 + 4 + 18

 

D = - 35  + 22

 

D = - 13

 

 

E = -5 + 14 - 2 + 6 + 5 - 6 - 8

 

E = -5 + 5  + 6 - 6  + 14 + 5  - 2 - 8

 

E = 0 + 0 + 19  - 10

 

E = 9

 

 

 

Application : distance de deux points sur une droite graduée

 

 Règle 8

 

On suppose que A et B sont deux points dont on connaît les abscisses a et b.

 

La distance entre A et B est égale à (plus grande abscisse) - (plus petite abscisse)

 

si a < b alors AB = b - a

si a> b alors AB = a - b

 

Exemples

 

 

 AB = ( - 4 ) - ( - 6 )

 

AB = ( - 4 ) + ( + 6 )

 

AB = 2

 BC = ( + 4 ) - ( - 6 )

 

BC = ( + 4 ) + ( + 6)

 

BC = 10

 

07/2006