Les nombres relatifs : définition et comparaison

Les nombres relatifs : définition & comparaison - leçon

Introduction

Le fils de Marcel lit sur son manuel d'histoire :

- César est né en 101 av JC. Il est mort en 44 av JC.

- Vercingétorix est né en 72 av JC. Il est mort en 45 av JC.

Par quels nombres peut-on représenter les dates de naissance de César et Vercingétorix ?

César est-il né avant ou après Vercingétorix ?

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

1) Ranger des nombres relatifs courants en écriture décimale.

2) Sur une droite graduée, lire l'abscisse d'un point donné, placer un point d'abscisse donnée (exactement ou approximativement, en fonction du contexte).

3) Dans le plan muni d'un repère orthogonal, lire les coordonnées d'un point donné.

4) Dans le plan muni d'un repère orthogonal, placer un point de coordonnées données.

5) Connaître et utiliser le vocabulaire : origine, coordonnées, abscisse, ordonnée.

Exemples d'utilisation des nombres relatifs dans la vie courante

Les températures en météo

Les commandes d'ascenseurs

Les frises chronologiques en histoire

De nouveaux nombres en 5e : les nombres relatifs

Pour comprendre facilement ce qu'est un nombre relatif, on peut penser aux températures.

En été, quand il fait chaud, on parle souvent de températures positives :

5°Celsius ou 32°C

Sur les cartes météo de la télévision, les signes + des températures ne sont pas écrites.

En hiver, quand il fait froid, on parle plutôt de températures négatives :

- 10°C ou - 7°C

Définition

Un nombre négatif est un nombre qui s'écrit avec le signe -.

Un nombre positif est un nombre qui s'écrit avec le signe + ou sans signe.

Il n'est pas obligatoire d'écrire le signe + d'un nombre positif.

Un nombre relatif est un nombre qui est positif ou négatif.

Exemples

Nombres positifs : + 7 ou 7 + 13,2 ou 13,2 + 1,6 ou 1,6

Entiers positifs : + 7 ou 7 + 1000 ou 1000

Nombres négatifs : - 5 - 19 - 3,56

Entiers négatifs : - 5 - 19 - 1000

Nombres relatifs opposés : - 19 et + 19 + 24,7 et - 24,7 - 5 et + 5

Deux nombres opposés ont des signes contraires

0 est le seul nombre qui est positif et négatif en même temps.

Repérage sur une droite graduée

Les thermomètres à mercure représentent naturellement des droites graduées avec des nombres relatifs.

Droite graduée

Une droite graduée est une droite sur laquelle on place :

- un point particulier appelé origine et repéré par le nombre 0

- un sens de parcours (souvent de la gauche vers la droite)

- une unité de longueur que l'on reporte régulièrement

Abscisse

Sur une droite graduée régulièrement, chaque point est repéré par un nombre relatif appelé abscisse du point.

point	O	A	B	C
abscisse	0	4	-4	-6

Distance à zéro

Entre les points O et C, il y a 6 unités. On dit que la distance à zéro de C est 6.

Entre les points O et A, il y a 4 unités. On dit que la distance à zéro de A est 4.

Entre les points O et B, il y a 4 unités. On dit que la distance à zéro de B est 4.

On peut retenir finalement que :

la distance à zéro d'un nombre est ce nombre sans son signe

Nombres relatifs opposés

Deux nombres opposés comme - 4 et + 4 :

- ont des signes contraires

- ont la même distance à zéro

- sont les abscisses de points symétriques par rapport à l'origine

Lire exactement ou approximativement

L'abscisse du point A est -7,6

On peut juste dire que l'abscisse du point P est comprise entre -8 et -7

et mieux elle est comprise entre -7,3 et -7,2

On peut tenter d'être plus précis en graduant régulièrement

la portion de droite entre les deux graduations rouges

L'abscisse du point P est précisément -7,27

On peut juste dire que le point D a une abscisse comprise entre -7,3 et -7,2

et mieux elle est comprise entre -7,22 et -7,21

Comparaison de deux nombres relatifs

Avec une droite graduée

On suppose que le point A a pour abscisse a et le point B a pour abscisse b

Si le point A est situé avant le point B, alors a < b

Inversement, si a < b alors le point A est situé avant le point B

On remarque que : les nombres négatifs sont inférieurs à 0 et les nombres positifs sont supérieurs à 0.

Avec les distances à zéro

	comparaison de deux nombres négatifs	comparaison d' un nombre négatif et d'un nombre positif	comparaison de deux nombres positifs
Règle	Si deux nombres sont négatifs, alors le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro	Si deux nombres sont de signe contraires, alors le plus petit est le nombre négatif	Si deux nombres sont positifs, alors le plus petit est celui qui a la plus petite distance à zéro
Exemple	- 4 < - 2	- 2 < + 3	+ 1,5 < + 3
Droite graduée