Le calcul littéral et les équations

Le calcul littéral et les équations - leçon

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Introduction

On demande au fils de Marcel de calculer de tête 15 98.

Il réfléchit quelques secondes puis répond 1470.

De la même façon, il répond 1700 après quelques secondes de réflexion lorsqu'on lui propose le calcul 17 97 + 17 3.

Comment procède-t-il pour calculer aussi vite ?

Calcule-t-il ces deux expressions en respectant les priorités opératoires ?

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

1 ) Sur des exemples numériques ou littéraux, utiliser les égalités k (a + b) = ka + kb et k (a - b) = ka - kb dans les deux sens.

2 ) Tester si une égalité comportant un ou deux nombres indéterminés est vraie lorsqu'on leur attribue des valeurs numériques.

Deux formules de distributivité

Pour calculer rapidement de tête des expressions comme 25 103 ou 78 14 - 78 4

on transforme ces expressions en expressions plus "simples" à évaluer.

Ici, on ne peut pas calculer rapidement si on respecte les priorités opératoires.

Développer

k (a + b) = k a + k b

k (a - b) = k a - k b

On transforme un produit en une somme ou une différence

Factoriser

k a + k b = k (a + b)

k a - k b = k (a - b)

On transforme une somme ou une différence en un produit

Premier intérêt en calcul mental

Calculer A = 25 103 sans poser la multiplication

On remplace 103 par 100 + 3

A = 25 ( 100 + 3)

A = 25 100 + 25 3

A = 2500 + 75

A = 2575

Calculer B = 15 98 sans poser la multiplication

On remplace 98 par 100 - 2

B = 15 ( 100 - 2)

B = 15 100 - 15 2

B = 1500 - 30

B = 1470

Premier intérêt en calcul mental

Calculer C = 17 97 + 17 3 sans respecter les priorités opératoires

On remarque que 97 + 3 = 100

C = 17 ( 97 + 3 )

C = 17 100

C = 1700

Calculer D = 78 14 - 78 4 sans respecter les priorités opératoires

On remarque que 14 - 4 = 10

D = 78 ( 14 - 4 )

D = 78 10

D = 780

Les expressions littérales

Qu'est-ce qu'une expression littérale ?

Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont désignés par des lettres.

Il faut comprendre que la lettre représente un nombre sans qu'on sache lequel.

Par exemple

Les formules de périmètres et d'aires rencontrés en 6e

sont des exemples classiques d'expressions littérales.

Périmètre d'un carré : p = 4 c

Aire d'un carré : A = c c

avec c = longueur d'un côté

Périmètre d'un rectangle : p = 2 ( L + l )

Aire d'un rectangle : A = L l

avec L = longueur et l = largeur

Écrire plus simplement les expressions

Pour alléger encore l'écriture de certaines expressions, on convient que l'écriture du signe prioritaire n'est pas obligatoire devant une lettre ou devant une parenthèse.

Les autres signes +, - et : sont obligatoires.

Par exemple

a b = a b	3 a = 3a
4 ( a + 7 ) = 4 (a + 7 )	k ( a + b ) = k ( a + b )
( a + b ) ( c + d ) = (a + b) ( c + d )

Autres remarques pour simplifier

a a = a ² qui se dit a au carré

a a a = a ³ qui se dit a au cube

La formule A = c c s'écrit donc A = c ²

Par exemple :

9 ² = 9 9 = 81

4 ³ = 4 4 4 = 64

Deuxième intérêt

Transformer le produit E = 5 ( x + 4 ) en somme

E = 5 ( x + 4 )

E = 5 x + 5 4

E = 5x + 20

Attention, 5x + 20 n'est pas égal à 25x !

Transformer le produit F = 3 ( x - 2 ) en somme

F = 3 ( x - 2 )

F = 3 x - 3 2

F = 3x - 6

Deuxième intérêt

Transformer la somme G = 17 x + 51 en produit

G = 17 x + 51

G = 17 x + 17 3

G = 17 ( x + 3 )

Transformer la somme H = 3 x - 3 y en produit

H = 3 x - 3 y

H = 3 ( x - y )

Les égalités

Comprendre le signe =

Le nombre 30 est égal à 10 + 20 ou 45 - 15 ou 5 6 ou 60 : 2 ou 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 ou de pleins d'autres façons différentes.

On peut donc écrire les égalités

membre de gauche		membre de droite
30	=	10 + 20
45 - 15	=	60 : 2
5 6	=	45 - 15
10 + 20	=	5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5

L'expression 5( x + 4 ) est égale 5x + 20 à pour n'importe quel nombre x.

On peut écrire des égalités qui sont vraies

pour n'importe quel nombre x

membre de gauche		membre de droite
5 ( x + 4 )	=	5 x + 20
3 ( x - 2 )	=	3 x - 6

l'égalité 5 ( x + 4 ) est vraie pour n'importe quel nombre x

On commence par calculer 2x + 3 pour plusieurs nombres x.

membre de gauche		membre de droite
2 1 + 3	=	5
2 2 + 3	=	7
2 3 + 3	=	9
2 4 + 3	=	11
2 5 + 3	=	13
2 6 + 3	=	15

Peut-on dire que 2x + 3 = 11 pour n'importe quel nombre x ? NON

On retient que :

L'égalité 2x + 3 = 11 n'est pas vraie pour n'importe quel nombre x.

Cette égalité vraie pour une valeur particulière de x

s'appelle une équation.

Tester si une égalité est vraie

Pour tester si une égalité du type ..... = ........ où figure une lettre est vraie :

(1) on remplace la* lettre par le nombre proposé dans le membre de gauche

(2) on remplace la lettre par le nombre proposé dans le membre de droite

(3) on compare les deux nombres obtenus

- si les deux résultats sont les mêmes, l'égalité est vraie pour ce nombre

- si les deux nombres sont différents, l'égalité est fausse pour ce nombre

* ou les lettres

Premier exemple

L'égalité 8x - 5 = 11 est-elle vraie pour x = 4 ?

(1) membre de gauche : 8x - 5	= 8 4 - 5
	= 32 - 5
	= 27

(2) membre de droite :11

(3) 27 11

L'égalité est fausse pour x = 4

Deuxième exemple

L'égalité 8x - 5 = 11 est-elle vraie pour x = 2 ?

(1) membre de gauche : 8x - 5	= 8 2 - 5
	= 16 - 5
	= 11

(2) membre de droite :11

(3) 11 = 11

L'égalité est vraie pour x = 2

Troisième exemple

L'égalité 5x - 14 = x + 2 est-elle vraie pour x = 4 ?

(1) membre de gauche : 5x-14	= 5 4 - 14
	= 20 - 14
	= 6

(2) membre de droite : x + 2	= 4 + 2
	= 6

(3) 6 = 6

L'égalité est vraie pour x = 4

Quatrième exemple

L'égalité x + y + 5 = 2x + 5 est-elle vraie pour x = 2 et y = 3 ?

(1) membre de gauche : x + y +5	= 2 + 3 + 5
	= 10

(1) membre de droite : 2x + 5	=2 2 + 5
	= 4 + 5
	= 9

(3)10 9

L'égalité est fausse pour x = 2 et y = 3

07/2006