Les angles et les droites parallèles - leçon

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Intoduction

 

En classe de sixième, une propriété permet de démontrer que deux droites sont parallèles :

 

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors ces deux droites sont parallèles.

 

 

En cinquième, il va falloir trouver une propriété plus générale (qui utilise les mesures d'angle) permettant de démontrer que deux droites sont parallèles.

 

 

 

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 

(1) Connaître et utiliser les propriétés relatives aux angles formés par deux parallèles et une sécante et leur réciproques.

 

 

Les angles particuliers

 

Les angles adjacents

 

Définition

 

On dit que deux angles sont adjacents si :

 

1) ils ont le même sommet

 

2) ils ont un côté commun

 

3) ils sont situés de part et d'autre du côté commun

 

Trois exemples d'angles qui ne sont pas adjacents

Les angles complémentaires et supplémentaires

 

Définition

 

On dit que deux angles sont complémentaires

si la somme de leur mesure est égale à 90 °.

 

Définition

 

On dit que deux angles sont supplémentaires

si la somme de leur mesure est égale à 180 °.

Remarque

 

Des angles complémentaires ou supplémentaires n'ont pas nécessairement ni le même sommet, ni un côté commun.

 

Les angles opposés par le sommet

 

Définition

 

On dit que deux angles sont opposés par le sommet si :

 

- ils ont le même sommet

 

- les côtés de l'un prolongent les côtés de l'autre

 

Remarque

 

Pour obtenir deux angles opposés par le sommet, il suffit de tracer deux droites sécantes

 

 

 

Propriété 1

 

Si deux angles sont opposés par le sommet,

alors ils ont la même mesure.

 

On sait que :  

et  angles

opposés par le sommet

On conclut que :  

Propriété utilisée :  

propriété (1)

 

Remarque et contre-exemple

 

La réciproque est fausse.

 

Les angles ont la même mesure,

or ils ne sont pas opposés par le sommet.

 

 

 

 

Les angles alternes-internes et correspondants

 

Deux droites coupées par une sécante déterminent deux paires d’angles alternes-internes et quatre paires d’angles correspondants

 

 

 

Quatre propriétés sur les angles et les droites

 

 

Comment démontrer que des ANGLES ont la même mesure ?

 

Si .........., alors ces deux angles ont la même mesure.

 

Comment démontrer que des DROITES sont parallèles ?

 

Si .........., alors ces deux droites sont parallèles.

 

 

Propriété 2

 

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante,

alors les angles alternes-internes qu’elles déterminent ont la même mesure.

    

On sait que :  

 ( x y ) // ( z t )

On conclut que :  

Propriété utilisée :  

propriété (2)

 

 

Propriété 3

 

Si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles alternes-internes de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

 

On sait que :  

On conclut que :  

 ( x y ) // ( z t )

Propriété utilisée :  

propriété (3)

 

 

 

 

Propriété 4

 

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante,

alors les angles correspondants qu’elles déterminent ont la même mesure.

 

On sait que :  

  ( x y ) // ( z t )

On conclut que :  

Propriété utilisée :  

propriété (4)

 

 

Propriété 5

 

Si deux droites coupées par une sécante déterminent des angles correspondants de même mesure, alors ces deux droites sont parallèles.

 

On sait que :  

On conclut que :  

 ( x y ) // ( z t )

Propriété utilisée :  

propriété (5)

 

 

10/2006