C'est quoi ?

Si deux figures ont la même forme mais des tailles différentes, alors on dit que leur dimensions sont proportionnelles.

Exemple de la vie courante      

Marcel achète des fruits qui coûtent 2 € le kg.

Le prix des fruits est proportionnelle à la masse de fruits achetés.

 tableau de proportionnalité de coefficient 2

Exemple géométrique de la proportionnalité

Dans le cas du "petit" théorème de Thalès :

Les triangles AMN et ABC ont la même forme, mais pas la même taille.

Les longueurs des côtés des triangles sont proportionnelles.

Tableau de proportionnalité

Un tableau est un tableau de proportionnalité si les nombres de la deuxième ligne s'obtiennent en multipliant par un MEME nombre ceux de la première ligne.  Ce nombre s'appelle coefficient de proportionnalité.

Par exemple :

0,5 est le coefficient de proportionnalité

Comment voir s'il y a  proportionnalité ?

Est-ce un tableau de proportionnalité ?

Faire trois calculs séparés, car il y a trois colonnes :

C'est un tableau de proportionnalité et le coefficient de proportionnalité est 0,5

Est-ce un tableau de proportionnalité ?

Faire trois calculs séparés :

Ce n'est pas un tableau de proportionnalité. 

Calculs de nombres proportionnels

Calculer a et b sachant que le tableau est un tableau de proportionnalité.

Première méthode : trouver le coefficient de proportionnalité

     Calcul du coefficient à l'aide de la première colonne : 

     Calcul de a : a = 8 0,6 = 4,8

     Calcul de b : b = 4,5 0,6 = 7,5

Deuxième méthode : "produits en croix"

    Trois quotients sont égaux au coefficient :

    En particulier    donc        

    (remarquons que a = 8 coefficient)

    De même   donc      

(Cette méthode parait artificielle pour certains, mais elle fonctionne bien en classe. On explique le sens de cette méthode la première fois qu'on la rencontre - d'où ça sort ? différence avec la première ? - puis on applique la méthode des produits en croix par la suite ...en faisant apparaître le début d'une croix ...)

L'idée d'entourer est celle d'une collègue de Raon-l'étape

Graphique

Si on représente graphiquement les données d'un tableau de proportionnalité, alors les points obtenus sont alignés sur une droite qui passe par l'origine du repère.

Réciproquement, si les points d'un graphique sont alignés sur une droite qui passe par l'origine du repère, alors leurs abscisses et leurs ordonnées sont proportionnelles.

Par exemple :  

tableau de proportionnalité de coefficient 3

tableau de non-proportionnalité

Application 1 : les pourcentages

Appliquer un pourcentage

Regardons sur un exemple :

Marcel gagne 1768 € par mois. Quelle somme dépense-t-il pour ses loisirs ?

  Le salaire et la somme dépensée pour ses loisirs sont proportionnels.

  Somme dépensée par Marcel pour ses loisirs (on l'appelle cette somme a) :

    donc      €

Calculer un pourcentage

Regardons sur un exemple :

 Dans un collège de 625 élèves, il y a 420 filles. Quel est le pourcentage de filles de ce collège ?

     Le nombre de filles et le nombre d'élèves sont proportionnels.

   Pourcentage de filles (on appelle ce pourcentage b) :

       donc      %

Application 2 : la vitesse moyenne

Marcel conduit sa voiture sur une distance d et pendant la durée t. Il ne conduit pas toujours à la même vitesse (arrêt au stop, vitesse à 50 km/h en agglomération ...).

Mais, s'il roulait constamment à la même vitesse, la distance d et son temps de parcours seraient proportionnels et on pourrait calculer sa vitesse moyenne à l'aide de la formule :

Cas où Marcel roule constamment à 130 km/h sur l'autoroute A7.

Trois formules à connaître :                                                                                  

L'unité de vitesse du système international est le mètre par seconde (m/s). Mais on utilise couramment le kilomètre par heure (km/h).

Application 3 : convertir des unités d'un même système

Le plus souvent : convertir des m/s en km/h et inversement

 tableau de proportionnalité de coefficient 3,6 qui sert à convertir

1 m parcouru pour 1s      revient à dire     0,001 km parcouru pour 1/3600 h          donc        1 m/s = 3,6 km/h

    1 km parcouru pour 1 h   revient à dire     1000 m parcourus pour 3600 s               donc        1 km/h = 1/3,6 m/s

Convertir 35 m/s en km/h ?          35 3,6 = 126         35 m/s = 126 km/h

    Convertir 72 km/h en m/s ?          72 3,6 =20          72 km/h = 20 m/s