Les droites remarquables

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Un moyen mnémotechnique ("truc des élèves")

 

Médiatrice et médiane commencent par la lettre M comme milieu.

Ces droites passent donc toujours par le milieu d'un côté d'un triangle.

Hauteur et bissectrice ne commencent pas par la lettre M.

Ces droites passent donc toujours par un sommet.

 

Médiatrice et hauteur contiennent les lettres A et T comme dans Angle droiT.

Ces droites sont donc toujours perpendiculaires à un côté d'un triangle.

Médiane et bissectrice ne contiennent pas les deux lettres A et T.

Ces droites ne sont donc pas nécessairement perpendiculaires à un côté.

 

 

 

Les médiatrices

Les hauteurs

Les médianes

Les bissectrices

Définition

 

Une médiatrice d'un triangle est une droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est perpendiculaire à ce côté.

 

 

Une hauteur d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.

 

 

Une médiane d'un triangle est une droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet.

 

 

Une bissectrice d'un triangle est une droite qui partage un angle du triangle en deux angles de même mesure.

 

Figure

 

 

 

 

 

 

 

 

Propriété de concours

 

Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes.

 

 

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.

 

 

Les trois médianes d'un triangle sont concourantes.

 

 

Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes.

 

Nom du point de concours

 

Centre du cercle circonscrit

 

 

Orthocentre

 

 

Centre de gravité

 

 

Centre du cercle inscrit

 

Remarque

 

Pour obtenir l'un de ces points de concours, il suffit de tracer DEUX droites seulement, et pas trois.

 

Propriétés utiles

 

Si une droite passe par le centre du cercle circonscrit et le milieu d'un côté d'un triangle,

alors c'est une médiatrice.

 

 

Si une droite passe par le centre du cercle circonscrit et est perpendiculaire à un côté d'un triangle,

alors c'est une médiatrice.

 

 

Si une droite passe par l'orthocentre et par un sommet d'un triangle,

alors c'est une hauteur.

 

 

Si une droite passe par l'orthocentre et est perpendiculaire à un côté d'un triangle,

alors c'est une hauteur.

 

 

Si une droite passe par le centre de gravité et un sommet d'un triangle,

alors c'est une médiane.

 

 

Si une droite passe par le centre de gravité et le milieu d'un côté d'un triangle,

alors c'est une médiane.

 

 

Si une droite passe par le centre du cercle inscrit et par un sommet d'un triangle,

alors c'est une bissectrice.

 

 

Position du centre de gravité sur chacune des médianes

 

Le centre de gravité est situé sur le "segment médiane" aux de sa longueur à partir du sommet.

 

 

 

G centre de gravité du triangle ABC

 

 

Le triangle isocèle

 

Si un triangle est isocèle, alors la médiatrice de la base est confondue avec la hauteur issue du sommet principal, la médiane issue du sommet principal et la bissectrice du sommet principal.

 

Le triangle équilatéral

 

Si un triangle est équilatéral, alors chaque médiatrice est confondue avec une hauteur, une médiane et une bissectrice.

 

Le triangle rectangle

 

Si un triangle est rectangle, alors :

    - le milieu de l'hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit (consulter le chapitre "Le triangle rectangle et le cercle").

    - le sommet de l'angle droit est l'orthocentre de ce triangle.