Qu'est ce qu'une démonstration ?

En mathématiques, observer ou mesurer ne permettent pas de prouver.

Ne jamais écrire "ça se voit".

Pour prouver un résultat, on écrit une démonstration composée de :     hypothèse(s)     propriété(s)    conclusion(s)

Les hypothèses

Ce sont les données de l'exercice.

Elles sont écrites explicitement dans l'énoncé ou sont obtenues à partir du codage de la figure (angle droit ou longueurs égales).

On ne peut pas coder le parallélisme.

Les propriétés ou définitions

Elles sont à apprendre par coeur, et énoncent ce qui est vrai pour un type particulier de figure.

Il est commode d'écrire les propriétés sous la forme "SI .......... ALORS .........."

Voici deux exemples :

 - si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles.

 

- si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

Les conclusions

Ce sont les conséquences des hypothèses et des propriétés.

Une fois prouvée, elles peuvent servir à leur tour d'hypothèses.

Illustration 1

Énoncé

Soit ABCD un parallélogramme.

Démontrer que les segments [AC] et [BD] se coupent en leur milieu.

Démonstration à un pas

On sait que : ABCD parallélogramme

                       [AC] et [BD] diagonales de ABCD

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

Donc : [AC] et [BD] sécants en leur milieu

Illustration 2

Énoncé

Soit ABCD un parallélogramme.

Soit (d) la droite perpendiculaire à (AB) passant par A.

Démontrer que (d) est perpendiculaire à (CD).

Démonstration à deux pas

On sait que : ABCD parallélogramme

Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés sont parallèles.

Donc : (AB) // (CD)

On sait que  : (AB) // (CD)

                        (d ) (AB)

Si deux droites sont parallèles, et si une troisième est perpendiculaire à l'une, alors elle est perpendiculaire à l'autre.

Donc : (d )  (CD)