Les vecteurs et les translations

[ Page d'accueil | chapitres de 3ème | leçon ]

 

Déjà des translations en 4ième

 

A ce sujet, on pourra consulter le chapitre de 4ième "les translations"

 

 

Rappelons rapidement ce qu'est une translation

  

Par un glissement rectiligne de A en B, la figure F  vient se superposer à la figure G.

 

On dit que :

 

 La figure F a pour image la figure G par la translation qui transforme A en B.

 

 

Ce mouvement (dans quel sens ? de quelle longueur se déplace la figure ?) est représenté par une flèche.

 

 - le sens de la flèche donne le sens de déplacement

 

 - la longueur de la flèche donne l'amplitude du déplacement

 

Comme en maths, il est pratique de nommer tous les objets, on nommera  cette flèche (une lettre surmontée d'une flèche).

 

 

Comment construire l'image d'un point ?

 

Pour définir une translation il suffit d'avoir deux points : un point A et son image B

 

Avec ces deux points A et B, il est possible de trouver l'image de n'importe quel autre point M.

 

 

Par la translation qui transforme A en B, l'image du point M est le point N tel que :

 

ABNM est un parallélogramme

 

point               image

A        B

M        N

 

La flèche signifie "a pour image"

 

 

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 

 1 ) Connaître et utiliser l'écriture vectorielle = pour exprimer que la translation qui transforme A en B transforme aussi C et D.

 

 2 ) Lier cette écriture vectorielle au parallélogramme ABDC éventuellement aplati.

 

 3 ) Utiliser l'égalité et la relier à la composée de deux translations.

 

 4 ) Construire un représentant  du vecteur somme à l'aide du parallélogramme.

 

 5 ) Savoir que l'image d'une figure par deux symétries centrales successives de centres différents est aussi l'image de cette figure par une translation.

 

 6 ) Connaître le vecteur de la translation composée de deux symétries centrales.

 

 

Les translations en 3ième avec des vecteurs

 

 Considérons la translation définie par la "flèche" . En maths, on dit plutôt translation de vecteur .

 

 - cette translation transforme A en B. Elle transforme C en D. Elle transforme E en F.

 

 - on peut résumer par le schéma :

 point               image

A         B

C         D

E         F

 

 

 - les quatre flèches de la figure sont parallèles, ont le même sens et la même longueur. On résume en écrivant :

 

 

- , et   sont des représentants d'un même vecteur qui définit la même translation.

 

 - A est l'origine du vecteur et B est l'extrémité du vecteur .

 

 Plus simplement, on peut se dire q'un vecteur est représenté par une flèche. Toutes les flèches parallèles, qui ont le même sens et la même longueur représente le même vecteur.

 

 Un vecteur particulier : le vecteur nul

 

Considérons maintenant la translation qui transforme un point A en le point A lui-même. Cette translation consiste à n'effectuer aucun mouvement. Par cette translation, tous les autres points sont immobiles, et sont leur propre image. On peut  résumer par le schéma :

 

 point               image

A         A

C         C

E         E

 

Le vecteur qui définit cette translation (l'immobilité) n'a donc pas de longueur.

On le note . Ainsi :

 

 

 * Définitions de vecteur dans le langage courant : ce qui véhicule quelque chose - animal, plante qui sert de support à la transmission de maladies épidémiques - tout véhicule aéronautique capable de transporter une arme en vue de la lancer sur un objectif.

 

 

Lien entre translations et vecteurs

 

Propriété 1

 

 - si alors la translation qui transforme A en B transforme C en D

 - si la translation qui transforme A en B transforme C en D alors

 

 Liens entre parallélogrammes et vecteurs

 

Propriété 2

 

 - si alors ABDC est un parallélogramme

 - si ABDC est un parallélogramme, alors et

 

 

Liens entre milieux et vecteurs

 

Propriété 3

 

 - si alors les segments [AD] et [BC] ont le même milieu

 - si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu, alors et

 

Finalement, on peut retenir que les 4 phrases suivantes veulent dire la même chose :

 

 -  =

 - la translation qui transforme A en B transforme C en D

 - ABDC est un parallélogramme

 - =

 

Ces propriétés sont évidentes si on se souvient des propriétés du parallélogramme.

 

Composée de deux translations

 

 

 Si on applique successivement deux translations, on dit que l’on applique la composée de ces translations.

 

Propriété 4

 

 - la composée de deux translations est une translation

 

 - plus précisément, effectuer la translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur BC revient à effectuer la translation de vecteur AC

 

A B C

 

 - on résume à l'aide de la célèbre RELATION DE CHASLES

 

 

 

 - on dit que est la somme des vecteurs et . Il représente le vecteur de la composée des deux translations.

 

Un vecteur particulier  : l'opposé

 

Effectuer la translation de vecteur  suivie de la translation de vecteur  revient à effectuer la translation de vecteur  c'est à dire la translation de vecteur nul.

 

A B  A

 

On résume à l'aide de la relation :  + =

 

On peut voir la translation de vecteur comme la "translation contraire" à la translation de vecteur .

 

On dira donc que est l'opposé du vecteur  et on notera

 

= -

 

 Michel CHASLES est un mathématicien du 19ième (1793- 1880). Prononcer "chale" sans tenir compte du s.

 

 

 

 

Construire une somme de deux vecteurs

 

 

Première méthode : mise bout  à bout. Construire un représentant du vecteur

 

 1 ) On place un point A au hasard

 2 ) On trace le vecteur qui représente

 3 ) On trace le vecteur qui représente (son origine est B)

 4 ) Le vecteur est un représentant de

 

 

 

Ce qui signifie : effectuer la translation de vecteur suivie de la translation de vecteur revient à effectuer la translation de vecteur .

 

Deuxième méthode : méthode du parallélogramme. Construire un représentant du vecteur

 

 1 ) On place un point A au hasard

 2 ) On trace le vecteur qui représente (son origine est A)

 3 ) On trace le vecteur qui représente (son origine est A)

 4 ) On construit le parallélogramme ABDC

 5 ) Le vecteur est un représentant de

 

 

Ce qui signifie : effectuer la translation de vecteur suivie de la translation de vecteur revient à effectuer la translation de vecteur .

 

 

Composée de deux symétries centrales

 

 

 Si on applique successivement deux symétries centrales, on dit que l’on applique la composée de ces deux symétries.

 

Propriété 5

 

 - la composée de deux symétries centrales est une translation

 

 - plus précisément, effectuer la symétrie centrale de centre A suivie de la symétrie centrale de centre B revient à effectuer la translation de vecteur +

 

Par commodité, on écrit + sous la forme : est le représentant d'un vecteur qui est parallèle, qui a le même sens mais qui est deux fois plus grand que le vecteur  .