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D'abord
un constat
On
considère trois triangles ABC rectangles en A dont l'angle
de sommet B mesure 30° : un petit triangle, un moyen et un grand.
Déjà vu en 4ième avec le cosinus :
Si on calcule BA 
BC pour les trois triangles, on constate qu'on trouve
le même nombre proche de 0,86. Ce nombre ne dépend donc
pas de la taille du triangle mais seulement de l'angle
de 30°. On dit que ce nombre est le cosinus de 30°.
De même, si on calcule CA
BC , on trouve 0,5 exactement pour les trois triangles.
On dit que ce nombre est le sinus de 30°.
Et puis, si on calcule CA
BA pour les trois triangles, on trouve le même nombre
proche de 0,57. On dit que ce nombre est la tangente
de 30°.
Si un quatrième triangle ABC rectangle en A est tel
que : l'angle de sommet B mesure 30°, alors on est sûr
que CA
BC = 0,5. Donc, si on sait que BC = 6 cm, alors on peut
facilement calculer CA : CA
6 = 0,5 donc CA = 3 cm.
Toutes les calculatrices de type collège peuvent fournir
des valeurs de cosinus, de sinus et de tangente de n'importe
quel nombre. Essayez avec SIN(30) = .
Vous obtiendrez 0,5
si la calculatrice est en mode DEGRE.
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Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre
1
) Connaître et utiliser dans le triangle
rectangle les relations entre le cosinus, le sinus ou
la tangente d'un angle aigu et les longueurs de deux
côtés du triangle.
2
) Utiliser la calculatrice pour déterminer des
valeurs approchées :
-
du sinus, du cosinus et de la tangente d'un angle aigu
donné
-
de l'angle aigu dont on connaît le sinus, le cosinus
ou la tangente
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Définitions
du cosinus, du sinus et de la tangente
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Le
cosinus
Dans un triangle rectangle,
le cosinus d'un angle aigu est égal au rapport
entre :
-
la longueur du côté adjacent à cet angle
-
la longueur de l'hypoténuse
Le
sinus
Dans un triangle rectangle,
le sinus d'un angle aigu est égal au
rapport entre :
-
la longueur du côté opposé à cet angle
-
la longueur de l'hypoténuse
La
tangente
Dans un triangle rectangle,
la tangente d'un angle aigu est égal
au rapport entre :
-
la longueur du côté opposé à cet angle
-
la longueur du côté adjacent à cet angle
*
Remplacer
le
mot "rapport" par "quotient
de la division décimale"
*
L'abréviation
officielle de tangente est tan (et non tg
...)
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On
utilise les formules de trigonométrie
seulement
dans un triangle rectangle.
Il
faut d'abord repérer :
-
l'angle
-
l'hypoténuse
-
le côté opposé à l'angle ( en face de l'angle)
-
le côté adjacent à l'angle (un côté de l'angle)
Voici
un moyen mnémotechnique
utilisé
par certains
pour
retenir les trois formules :
CAH-SOH-TOA
ou SOH-CAH-TOA
où
C
= cosinus; S = sinus; T =tangente
A
= côté adjacent; O = opposé; H = hypoténuse
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Quelques
propriétés
Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont des nombres compris
entre 0 et 1.
La
tangente d'un angle aigu est un nombre positif, aussi
grand que l'on veut.
Si x est (la mesure d') un angle aigu, alors : (cos
x)2 + (sin x )2 = 1
En
général, pour alléger la formule, on écrit : cos2x
+ sin2x = 1
en
sachant que cos2x = (cos x )2
Si x est (la mesure d') angle aigu, alors :
Par exemple, on sait que x est (la mesure) d'un angle
aigu tel que cos x = 0,8.
Calculer
sinx et tan x.
cos2x
+ sin2x = 1
donc 0,82
+ sin2x = 1
d'où
0,64
+ sin2x = 1
et sin2x
= 1 - 0,64 = 0,36
Or
sinx est un nombre positif, donc 
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A
quoi ça sert ?
Les
formules du cosinus, du sinus et de la tangente
servent à :
-
calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle
lorsque l'on connaît (la mesure d') un angle et la longueur d'un côté
-
calculer (la mesure d') un angle lorsque l'on connaît
deux longueurs de côtés d'un triangle rectangle
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Avec
la calculatrice
Bien
s'assurer que la calculatrice est en
mode DEGRE
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On
veut calculer cos 38
On
tape : COS 38
La
calculatrice affiche : 0,788010753
On
n'écrit pas tous les chiffres après la virgule.
Dans
un problème, on écrit :
cos
38 
0,79 (valeur arrondie au centième)
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On
veut calculer x tel que cos x = 0,4
On
tape : COS-10,4
La
calculatrice affiche : 66,421821521
On
n'écrit pas tous les chiffres après la virgule.
On
n'écrit jamais cos-1 sur une
copie !
Dans
un problème, on écrit :
cos
x = 0,4 donc x
66,4° (valeur arrondie au dixième)
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On
veut calculer sin 12
On
tape : SIN 12
La
calculatrice affiche : 0,207911690
On
n'écrit pas tous les chiffres après la virgule.
Dans
un problème, on écrit :
sin 12
0,21 (valeur arrondie au centième)
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On
veut calculer x tel que sin x = 0,7
On
tape : SIN-10,4
La
calculatrice affiche : 44,427004000
On
n'écrit pas tous les chiffres après la virgule.
On
n'écrit jamais sin-1 sur une
copie !
Dans
un problème, on écrit :
sin x
= 0,7 donc x
44,4° (valeur arrondie au dixième)
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On
veut calculer tan 70
On
tape : TAN 70
La
calculatrice affiche : 2,747477419
On
n'écrit pas tous les chiffres après la virgule.
Dans
un problème, on écrit :
tan
70
2,75 (valeur arrondie au centième)
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On
veut calculer x tel que tan x = 1
On
tape : TAN-11
La
calculatrice affiche : 45
Elle
donne donc la valeur exacte.
On
n'écrit jamais tan-1 sur une
copie !
Dans
un problème, on écrit :
tan
x = 1 donc x =
45° (valeur exacte)
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Illustrations
: calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle
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Conseils
:
Après
avoir lu l'énoncé :
-
on trace une figure à main levée pour mettre
en évidence les données
-
on cherche la formule à utiliser :
cosinus
: côté adjacent et hypoténuse
sinus
: côté opposé et hypoténuse
tangente
: côté opposé et côté adjacent
-
on n'écrit pas tous les chiffres après la
virgule dans le résultat
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Illustrations
: calculer la mesure d'un angle
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Conseils
:
Après
avoir lu l'énoncé :
-
on trace une figure à main levée pour mettre
en évidence les données
-
on cherche la formule à utiliser :
cosinus
: côté adjacent et hypoténuse
sinus
: côté opposé et hypoténuse
tangente
: côté opposé et côté adjacent
-
on n'écrit pas tous les chiffres après la
virgule dans le résultat,
et
on n'écrit surtout pas cos-1,
sin-1 ou tan-1 sur
la copie
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Les
angles des équerres
En
se plaçant dans des triangles particuliers (triangle
équilatéral et triangle rectangle isocèle), on peut
calculer les valeurs exactes de certains cosinus, sinus
et tangentes.
Il
n'est pas obligatoire de les retenir en 3ième.
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angle
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30°
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45°
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60°
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cos
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sin
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tan
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1
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