Le théorème de Thalès

Le théorème de Thalès

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Si (d) et (d’) sont deux droites sécantes en A,

Si B et M sont deux points de (d) différents de A ,

Si C et N sont deux points de (d’) différents de A,

Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles,

Alors égalité des trois rapports

Thalès est un mathématicien et philosohe grec né à Milet (~ 625 av J.C - ~ 547 av J.C)

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

Connaître et utiliser dans une situation donnée les deux théorèmes suivants :

- Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d), distincts de A. Soient C et N deux points de (d'), distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :

- Soient (d) et (d') deux droites sécantes en A. Soient B et M deux points de (d), distincts de A. Soient C et N deux points de (d'), distincts de A. Si et si les points A, B, M et les points A, C, N sont dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

Trois cas de figures sont possibles

Dans les trois cas, le point M est sur la droite (AB).

Deux configurations des triangles emboîtés

- le point M est sur le segment [AB]

- le point M est sur la demi-droite [AB) sans être sur le segment [AB]

Une configuration papillon

Le point M est sur la demi droite [BA) sans être sur le segment [BA]

Les trois configurations de Thalès

Déjà vu en 4ième : le petit théorème de Thalès

Le premier cas des triangles emboîtés a déjà été étudié en 4ième (si M est sur le segment [AB] alors le triangle AMN est emboîté dans le grand triangle ABC).

Dans le premier cas des configurations des triangles emboîtés, les triangles AMN et ABC ont leurs côtés proportionnels. Le tableau suivant est donc un tableau de proportionnalité.

Côté du petit triangle AMN	AM	AN	MN
Côté du grand triangle ABC	AB	AC	BC

Les triangles AMN et ABC ont la même forme, mais pas la même taille. Le triangle AMN est donc une réduction du grand triangle ABC.

A ce sujet, on pourra consulter le chapitre de 4ième "le petit théorème de Thalès".

A quoi sert le théorème de Thalès ?

- à calculer une longueur dans une configuration de Thalès

- à démontrer que deux droites NE sont PAS parallèles

La réciproque du théorème de Thalès

Si (d) et (d’) sont deux droites sécantes en A,

Si B et M sont deux points de (d) différents de A ,

Si C et N sont deux points de (d’) différents de A,

Si les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre

Alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles

A quoi sert la réciproque du théorème de Thalès ?

- à démontrer que deux droites sont parallèles

Remarque : l'ordre des points est important dans les hypothèses

L'importance de l'ordre des points

Dans l'exemple ci-dessus, on a bien .

Pourtant les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

On constate ici que les points A, B, M et A, C, N sont bien alignés, mais pas dans le même ordre.

Illustration 1 : calculer une longueur

Énoncé

Sur la figure ci-dessous, les droites (IJ) et (QR) sont parallèles.

De plus, on suppose que : PQ = 35 cm; PJ = 24 cm; PR = 40 cm; IJ = 21 cm.

En justifiant, calculer les longueurs PI et QR.

Solution

On sait que : P, I, Q alignés

P, J, R alignés

(IJ) // (QR)

PJ = 24 cm; IJ = 21 cm

PR = 40 cm ; PQ = 35 cm

Donc par le théorème de Thalès :

donc

Remarques :

Les hypothèses P, I, Q alignés - P, J, R alignés signifient implicitement que :

- il existe deux droites (d) et (d') sécantes en P

- les points I et Q appartiennent à (d)

- les points J et R appartiennent à (d')

Il existe d'autres façons d'écrire les hypothèses. Par exemple :

On sait que : I (PQ)

J (PR)

(IJ) // (QR)

Illustration 2 : calculer une longueur

Énoncé

Sur la figure ci-dessous, les droites (IJ) et (QR) sont parallèles.

De plus, on suppose que : PQ = 4 cm; PJ = 6 cm; PR = 2 cm; IJ = 10 cm.

En justifiant, calculer les longueurs PI et QR.

Solution

On sait que : P, I, Q alignés

P, J, R alignés

(IJ) // (QR)

PQ = 4 cm; PR = 2 cm

PJ = 6 cm ; IJ = 10 cm

Donc par le théorème de Thalès :

donc

Illustration 3 : démontrer que deux droites ne sont pas parallèles

Énoncé

Sur la figure ci-dessous, on suppose que : AB = 6 cm; AR = 9 cm, AC = 4 cm ; AS = 5,3 cm. Les droites (BC) et (RS) sont-elles parallèles ?

Solution

On sait que : A,B, R alignés

A,C, S alignés dans le même ordre que A, B, R

AB = 6 cm; AR = 9 cm

AC = 4 cm ; AS = 5,3 cm

(surtout pas d'unité ici )

Donc :

Donc, par le théorème de Thalès,

les droites (BC) et (RS) ne sont pas parallèles.

Remarque :

Il est préférable de comparer et qui sont des nombres décimaux, plutôt que et qui ne sont pas des nombres décimaux.

On peut tout de même les comparer en travaillant avec les fractions :

On en conclut que :

Illustration 4 : démontrer que deux droites sont parallèles

Énoncé

Sur la figure ci-dessous, on suppose que : AB = 16,5 cm; AR = 10,5 cm, AC = 11 cm ; AS = 7 cm. Les droites (BC) et (RS) sont-elles parallèles ?

Solution

On sait que : A,B, R alignés

A,C, S alignés dans le même ordre que A, B, R

AB = 16,5 cm; AR = 10,5 cm

AC = 11 cm ; AS = 7 cm

Donc :

Donc, par la réciproque du théorème de Thalès,

les droites (BC) et (RS) sont parallèles.

Illustration 5 : le théorème de Thalès et sa réciproque dans l'espace

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle.

On suppose que les droites (IJ) et (GF) sont parallèles ainsi que les droites (IK) et (GH).

Les droites (JK) et (FH) sont-elles parallèles ?

Solution

On sait que : C, I, G alignés

C, J, F alignés

(IJ) // (FG)

Donc par le théorème de Thalès (dans le plan défini par la face BCGF)

De la même façon :

On sait que : C, I, G alignés

C, K, H alignés

(IK) // (GH)

Donc par le théorème de Thalès (dans le plan défini par la face DCGH)

Ainsi :

On sait que : C, J, F alignés

C, K, H alignés dans le même ordre que C, J, F

Donc, par la réciproque du théorème de Thalès (dans le plan défini par le triangle CFH),

les droites (JK) et (FH) sont parallèles.

Première application du théorème : partager un segment

Le problème

Soit [AB] un segment dont on ne connaît pas nécessairement la longueur.

A l'aide de la règle non graduée et du compas, construire l'unique point M de la demi-droite [AB) tel que

Une solution

1 ) Tracer une demi-droite [Ax) d’origine A.

2 ) A l’aide du compas, tracer 5 segments consécutifs de même longueur à partir de A sur la demi-droite [Ax)

3 )En utilisant ces segments, placer les points M’ et B’ sur [Ax) tels que

4 )Tracer la droite (BB') puis la parallèle à (BB’) passant par M'. Elle coupe la demi-droite [AB) en M.

5 ) D’après le théorème de Thalès,

Deuxième application du théorème : placer deux points sur une droite

Le problème

Soit (AB) une droite.

A l'aide de la règle non graduée et du compas, construire les deux points de la droite (AB) tels que

Une solution

1) Tracer deux droites parallèles passant par A et B. Les appeler (d) et (d').

2 ) A l’aide du compas, tracer des segments consécutifs de même longueur sur ces deux droites.

3 ) En utilisant ces segments, placer un point A’ sur (d) tel que AA’ = 5 ( ... 5 longueurs de segments). Placer deux points B’ et B’’sur (d’) tels que BB’ = BB’’ = 2 ( ... 2 longueurs de segments).

4 ) Tracer les droites (A’B' ) et (A’B’’). Elles coupent la droite (AB) en M et N.

5 ) D’après le théorème de Thalès,