D'abord deux questions sur les chameaux et dromadaires

  Combien y-a-t-il de chameaux et de dromadaires dans un troupeau sachant que l'on compte en tout 130 bosses ?

On peut répondre 33 chameaux et 64 dromadaires ou 50 chameaux et 30 dromadaires ou 1 chameau et 128 dromadaires ou bien d'autres réponses encore.

Remarquons cependant que, si l'on connaît le nombre de chameaux, on peut déterminer le nombre de dromadaires et inversement.

On constate ici qu'il y a deux inconnues : le nombre de chameaux noté x et le nombre de dromadaires noté y. Elles sont reliées par la formule simple qui correspond au nombre de bosses : 2x + y = 130.

  Combien y-a-t-il de chameaux et de dromadaires dans un troupeau sachant que l'on compte en tout 130 bosses et 72 têtes ?

Parmi toutes les réponses proposées ci-dessus, une seule convient. Mais laquelle ?

- 33 chameaux et 64 dromadaires donnent bien 130 bosses mais 97 têtes.

- 50 chameaux et 30 dromadaires donnent bien 130 bosses mais 80 têtes.

Ici, on peut trouver deux formules simples qui correspondent au nombre de bosses : 2x + y = 130 et aussi au nombre de têtes : x + y = 72

Ces deux formules constituent ce qu'on appelle un système d'équations.

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 1 ) Résoudre algébriquement un système de deux équations du premier degré à deux inconnues admettant une solution et une seule.

 2 ) En donner une représentation graphique.

  4) Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à un système de deux équations du premier degré.

Un chameau a 2 bosses et un dromadaire a 1 bosse.

Une équation à deux inconnues

Une équation à deux inconnues est une égalité ( ...... =  ...... ) dans laquelle figurent deux nombres inconnus, souvent désignés par les lettres x et y.

Résoudre UNE équation à deux inconnues, c'est trouver la ou les valeurs possibles des nombres inconnus x et y. Un couple (x ; y) possible s'appelle une solution. Une solution est donc composée de deux nombres.

Par exemple 2x + y = 130 est une équation à deux inconnues qui a une infinité de solutions.

Le couple ( 0 ; 130 ) est une solution car 2   0 + 130 = 130

Le couple ( 33 ; 64 ) est une solution car 2 33 + 64 = 130

Le couple ( -10 ; 150 ) est une solution car 2 (-10) + 150 = 130

Attention à l'ordre des nombres : le couple ( 33 ; 64 ) convient mais le couple ( 64 ; 33 ) ne convient pas.

En effet 2 64 + 33 = 161.

Un système d'équations à deux inconnues

Un système de deux équations à deux inconnues est formé de deux égalités ( ...... =  ...... ) dans lesquelles figurent deux nombres inconnus, souvent désignés par les lettres x et y.

Résoudre un système c'est trouver la ou les valeurs possibles des nombres inconnus x et y. Un couple (x ; y) possible s'appelle une solution. Une solution est donc composée de deux nombres.

Par exemple les équations 2x + y = 130 et x + y = 72 forme un système où les inconnues sont x et y.

On notera ce système avec une accolade.

Ici aussi, attention à l'ordre des nombres : le couple ( 58 ; 14) convient mais le couple ( 14 ; 58 ) ne convient pas.

En effet 2 58 + 14 = 130  et 58 + 14 = 72

Mais 2 14 + 58 = 86  et 14 +58 = 72

Première méthode de résolution : par combinaison

Deuxième méthode : par substitution

Interprétation graphique

Le système ci-dessus a été résolu par le calcul. Mais comment le résoudre graphiquement ? Grâce aux fonctions affines. A ce sujet, on pourra consulter le chapitre de troisième "Les fonctions affines".

Résoudre un premier problème

Exercice de type brevet – juin 2001

 Un premier bouquet de fleurs est composé de  3 iris et  4 roses. Il coûte  9 €.

Un deuxième bouquet est composé de  5 iris et  6 roses. Il coûte  14 €.

Quel est le prix d’un iris ? d’une rose ?

 1 ) Choix des inconnues : prix d'un iris : x  € et prix d'une rose : y €

 2 ) Mise en équation :

 3 ) Résolution du système par combinaison :

4 ) Réponse : un iris coûte 1 € et une rose coûte 1,50 €.

Résoudre un deuxième problème : revenons à nos chameaux

 Dans un troupeau de chameaux et de dromadaires, on compte 130 bosses et 72 têtes.

Combien y-a-t-il de chameau ?

Combien y-a-t-il de dromadaires ?

 1 ) Choix des inconnues : nombre de chameaux : x et nombre de dromadaires : y

 2 ) Mise en équation :

 3 ) Résolution du système par substitution (cette méthode est adéquate ici, car le coefficient des  inconnues est égal à 1 dans les deux équations ; x et pas 2x ou bien x pas 3x )

4 ) Réponse : Le troupeau comporte 58 chameaux et 14 dromadaires.