Les sphères et leurs sections
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Les cercles et les disques dans le plan
Dans le plan, il faut faire la différence entre un cercle et un disque.
On suppose que O est un point du plan et r est un nombre positif.
Les sphères et les boules dans l'espace
Dans l'espace, il faut faire la différence entre une sphère et une boule.
On suppose que O est un point de l'espace et r est un nombre positif.
Pour se faire une idée concrète, une orange bien ronde est une boule et sa pelure représente une sphère.
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Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre
1 ) Savoir que la section d'une sphère par un plan est un cercle.
2 ) Savoir placer le centre de ce cercle et calculer son rayon connaissant le rayon de la sphère et la distance du plan au centre de la sphère.
3 ) Représenter une sphère et certains de ses grands cercles.
4) Calculer l'aire d'une sphère de rayon donné.
5) Calculer le volume d'une boule de rayon donné.
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Vocabulaire
Les segments [OA] , [OB], [OA'] et [OB'] sont des rayons.
Les segments [AA’] et [BB’] sont des diamètres.
Les points A et A’ sont diamétralement opposés.
Les points B et B’ sont diamétralement opposés.
Les cercles bleu et rouge sont des grands cercles : leur centre et leur rayon sont ceux de la sphère.
Pour représenter une sphère en perspective et un de ses grands cercles :
- on dessine un cercle de centre O. Le centre de ce cercle représente le centre de la sphère. - on place deux points A et A' diamétralement opposés sur ce cercle. - on dessine une ellipse (un ovale) qui passe par A et A' pour représenter un grand cercle (en dessinant en pointillés la partie cachée).
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Rapprochement avec la sphère terrestre
L'équateur et les méridiens sont des grands cercles.
Ce sont les plus grands cercles qu'on puisse tracer sur la sphère. Leur centre est celui de la sphère. Leur rayon est celui de la sphère. Le pôle nord et le pôle sud sont diamétralement opposés.
Dans les exercices, on assimile la Terre à une boule de rayon 6400 km.
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Volume d'une boule et aire d'une sphère
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Exemples de calculs d'un volume et d'une aire
Calculer le volume et l’aire d’une boule de rayon 6 cm :
- valeurs exactes - valeur arrondie au cm3 pour le volume - valeur arrondie au cm2 pour l'aire
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On appelle H le point tel que OH soit la distance du centre de la sphère au plan.
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Calcul du rayon d'une section de sphère
La distance entre le centre de la sphère et le plan est de 8 cm. Calculer le rayon de la section de la sphère par le plan.
Pour représenter cette situation :
- on trace un cercle de centre O qui représente la sphère - on trace une ellipse (un ovale) qui représente la section - on place le point H "au centre " de l'ellipse - on place un point A sur cette ellipse et on trace le triangle OHA
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Solution
La section de la sphère par le plan (P) est un cercle de centre H. Soit A un point de ce cercle.
On sait que : OHA triangle rectangle en H OA = 17 cm OH = 8 cm
Donc par le théorème de Pythagore
OA2 = OH2 + HA2 172 = 82 + HA2 289 = 64 + HA2 HA2 = 289 - 64 HA2 = 225
donc :
HA = HA = 15 cm (valeur exacte)
Le rayon de la section de la sphère par le plan est de 15 cm.
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Un
cercle de centre O et de rayon r cm
est formé de tous les points situés à une
distance égale à r cm du point O.
Une sphère de centre
O et de rayon r cm est formé de tous
les points situés à une distance égale à
r cm du point O. C'est à dire tous les points
M tels que OM = r cm.
r cm.
cm