Les racines carrées

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Des racines carrées avec Pythagore en 4ième ...

 

En 4ième, on rencontre déjà les racines carrées lorsqu'on utilise le théorème de Pythagore.

 

 

 

ENONCE

 

Soit ABC un triangle rectangle en A

tel que AB = 7 cm et AC = 5 cm.

Calculer BC.

 

 

 

 

 

 SOLUTION

 

On sait que : ABC triangle rectangle en A - AB = 7 cm - AC = 5 cm

 

Donc, par le théorème de Pythagore

 

BC² = AB² + AC²

BC² = 7² + 5²

BC² = 49 + 25

BC² = 74

 

Comment trouver le nombre BC dont le carré est 74 ?

Comme 8² = 64 et 9² = 81, on peut déjà deviner que BC est compris entre 8 et 9.

Seule la calculatrice donne une valeur approchée de ce nombre.

 

En général, on écrit :

 

BC = cm (valeur exacte)

BC  8,6 cm (valeur arrondie au dixième)

 

 

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 

 1)   Savoir que, si a désigne un nombre positif, alors est le nombre positif dont le carré est a.

 

 2)   Sur des exemples numériques où a est un nombre positif, utiliser les égalités

 

     et        

 

 3)  Déterminer sur des exemples numériques, les nombres x tels que x2 = a où a désigne un nombre positif.

 

 4)  Sur des exemples numériques, où a et b sont des nombres positifs, utiliser les égalités :

 

     et     

 

 

Définition

 

Rappelons d'abord que le carré de b se note b2 et que b2 = b b

 

 

  Quelques exemples

 

Compléter   ... 2 = 9

 3 convient car 3 2 = 9

 

 -3 convient car (-3) 2 = 9

Compléter    ... 2 = 16

 4 convient car 4 2 = 16

 

 -4 convient car (-4) 2 = 16

Compléter   ... 2 = - 16

 Aucun nombre ne convient

car un carré est toujours positif

 

 

Plus généralement

 

Si a est un nombre négatif,

il est impossible de compléter  ... 2 = a

 

 

Si a est un nombre positif, on peut compléter   ... 2 = a

 

Il y a deux réponses possibles :

 

un nombre positif et un nombre négatif

 

 

Le nombre positif tel que .... 2 = a s'appelle racine carrée du nombre a.

 

Donc : la racine carré de a est le nombre positif dont le carré est a.

 

  

 

 

4 2 = 16

 

donc

 

7 2 = 49

 

donc

 

10 2 = 100

 

donc

 

15 2 = 225

 

donc

 

 

Quelques racines carrées qu'on peut apprendre par coeur :

 nombre a

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

121

144

169

196

225

256

289

racine

carrée de a

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

 

On peut utiliser la calculatrice pour trouver une valeur approchée d'une racine carrée :

 

nombre a

2

5

0,567

145

Pour la racine carrée de a,

la calculatrice affiche

1,414213562

ce n'est pas la

valeur exacte !

2,236067978

ce n'est pas la

valeur exacte !

0,752994023

ce n'est pas la

valeur exacte !

12,04159458

ce n'est pas la

valeur exacte !

Valeur arrondie au dixième

de la racine carrée de a

1,4

2,2

0,8

12,0

Valeur arrondie au centième

de la racine carrée de a

1,41

2,24

0,75

12,04

 

 

Première conséquence : deux formules avec une lettre

 

On suppose ici que a est un nombre positif.

 

  Le nombre positif tel que ....2 = a s'appelle racine carrée du nombre a. On le note

 

Donc :

 

Le nombre positif tel que ....2 = a2 s'appelle racine carrée du nombre a2. On le note

 

Donc :

 

 

Deuxième conséquence : résoudre une équation du type x ² = a

 

Le nombre de solutions de x2 = a dépend du signe de a :

 

    Si a < 0 alors l'équation x2 = a n'a aucune solution

     

    Si a = 0 alors l'équation x2 = a admet une seule solution qui est 0

     

    Si a > 0 alors l'équation x2 = a a deux solutions qui sont  et -  

 

Exemples

 

L'équation x2= - 100 n'a aucune solution

 

L'équation x2 = 0 a une seule solution 0

 

L'équation x2 = 100 a deux solutions - 10 et 10

 

 

Deux propriétés

 

Avec la multiplication  :

 

 Avec la division :  

 

Pas de propriété avec l'addition et la soustraction !

 

 Montrons le sur un exemple :

 

 D'une part :  

 

 D'autre part :

 

 On constate que :

 

 

Exemples types rencontrés au brevet (multiplication)

 

Écrire    sous la forme  où a et b sont deux entiers naturels

 

Écrire   sous la forme  où a et b sont deux entiers naturels

 

Écrire  sous la forme  où a et b sont deux entiers naturels

 

Montrer que   est un nombre entier

On utilise l'identité remarquable (a - b ) (a + b ) = a2 - b2

 

Écrire sous la forme a + b où a, b et c sont trois nombres entiers

On utilise l'identité remarquable ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 

 

Autres exemples (multiplications et divisions)

 

 

Écrire sous la forme où a et b sont deux nombres entiers :

 

Écrire le plus simplement possible :

 

 

 

 

Écrire le plus simplement possible :

 

 

 

Montrer que le nombre suivant est un entier naturel :

 

 

 

 

 

 

Écrire sans racine carrée au dénominateur :