Le minimum à savoir sur la proportionnalité (dans le registre des tableaux )

Reprise des notions développées en 5ième et 4ième :

  Un tableau est un tableau de proportionnalité si les nombres de la deuxième ligne s'obtiennent en multipliant par un MEME nombre ceux de la première ligne.  Ce nombre s'appelle coefficient de proportionnalité.

Par exemple :

0,5 est le coefficient de proportionnalité

Le minimum à savoir sur la proportionnlité (dans le registre des graphiques )

Si on représente graphiquement les données d'un tableau de proportionnalité, alors les points obtenus sont alignés sur une droite qui passe par l'origine du repère.

Réciproquement, si les points d'un graphique sont alignés sur une droite qui passe par l'origine du repère, alors leurs abscisses et leurs ordonnées sont proportionnelles.

Exemple de proportionnalité :

  tableau de proportionnalité de coefficient 3

Exemple de non-proportionnalité :

  tableau de non-proportionnalité

La proportionnalité et les grandeurs (dans le registre des formules )

Dire que deux grandeurs sont proportionnelles signifie qu'on peut construire un tableau de proportionnalité : 

Dans ce cas, les deux grandeurs sont reliées par la formule :

 deuxième grandeur  = a  première grandeur

où a est le coefficient de proportionnalité du tableau.

Si deux grandeurs x et y (accompagnées de leur unité) sont proportionnelles, alors il existe un nombre a non nul tel que y = a x  .

Si deux grandeurs x et y sont reliées par la formule y = a  x avec a nombre non nul, alors les deux grandeurs (accompagnées de leur unité) sont proportionnelles.

Dans un problème, on pourra représenter graphiquement la situation de proportionnalité entre les deux grandeurs en traçant la représentation graphique de la fonction linéaire :

f : x ax

Rappelons que c'est une droite qui passe par l'origine du repère et par le point de coordonnées ( 1 ; a).

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 1 ) Dans des situations mettant en jeu des grandeurs, l'une des grandeurs étant fonction de l'autre :

  - représenter graphiquement la situation d'une façon exacte si cela est possible, sinon d'une façon approximative

  - lire et interpréter une telle représentation

 2 ) Connaître des notions sans compétences exigibles clairement écrites au programme : les situations mettant en jeu des grandeurs, mettre en place et organiser des calculs faisant intervenir la proportionnalité, les pourcentages, les changements d'unités.

Les grandeurs simples et composées

Une grandeur est un nombre qui n'a de sens que s'il est accompagné d'une unité de mesure.

Les grandeurs simples, à partir desquelles sont exprimées d'autres grandeurs plus compliquées sont par exemple :

longueur (en km ...)

masse (en kg ...)

capacité (en L ...)

durée (en heure, minute, seconde ...)

puissance ( en watt, kilowatt ...)

Une grandeur composée s'exprime à l'aide de plusieurs autres grandeurs simples.

Une grandeur produit est le résultat obtenu lorsqu'on multiplie plusieurs grandeurs entre elles. Par exemple :

aire de rectangle ( m² ) = longueur ( m ) largeur ( m )

volume de pavé ( m³ ) = longueur ( m )  largeur ( m )  hauteur ( m )

énergie électrique( Wh ) = puissance ( W ) durée ( h )

Une grandeur quotient est le résultat obtenu lorsqu'on divise des grandeurs entre elles. Par exemple :

On peut retenir que la masse volumique de l'eau est de 1000 kg/m³ ou 1 kg/dm³ ou 1 kg/L (en comparaison, celle du fer est de 7860 kg/m³).

Une unité telle que  km/h  s'écrit aussi km h^-1

     Une unité telle que  kg/m³  s'écrit aussi kg m^-3

Exemples de calculs avec une grandeur quotient

Le débit d'un robinet est connu lorsqu'on connaît la quantité d'eau déversée pendant une durée connue.

Il peut s'exprimer dans différentes unités. 

Ici, les deux grandeurs proportionnelles sont : le volume et la durée. Le coefficient de proportionnalité est le débit.

Trois questions

Il faut 1 min à un robinet pour remplir un seau de 24 L.

 1) Quel est le débit du robinet en L/s ?

 2) Combien de temps faut-il au robinet pour remplir un seau de 10 L ?

 3) Combien de litres le robinet déverse-t-il en 1 h ?

On peut utiliser le tableau de proportionnalité suivant :

 1) 1 min = 60 s donc débit = 24/60 = 0,4 L/s

 Ce qui signifie : le robinet déverse 0,4 L d'eau en 1 s

 2 ) Pour 10 L  : durée = 10 0,4 = 25 s

 3 ) 1 h = 3600 s donc volume = 3600 0,4 = 1440 L

On peut se passer du tableau si on utilise les formules qui relient le débit, le volume et la durée :

Exemples de changements d'unités

  Pour convertir de unités de longueurs, de capacité ou de masse dans la vie courante, on peut utiliser le tableau de conversion suivant :

De plus :       1 tonne = 1000 kg        1quintal =100 kg         1 livre = 500g

4,231 q = 423,1 kg = 423100 g

Pour convertir des unités de temps, il est nécessaire de savoir : 1 h = 60 min et 1 min = 60 s

Pour convertir des unités d'aire dans la vie courante, on peut utiliser le tableau de conversion suivant :

De plus :     1 hectare = 1 hm² = aire d'un carré de 100 m de côté      

1 are = 1 dam² = aire d'un carré de 10 m de côté

34170 m² = 341,7 dam² = 0,03417 km²

Pour convertir des volumes dans la vie courante, on peut utiliser le tableau de conversion suivant :

De plus :     1 dm³ = 1 L

13,78 dam³ = 13780 m³ = 13780000 dm³

Pour convertir des unités relatives à des grandeurs produit ou des grandeurs quotient, on convertit en même temps les deux unités qui interviennent dans la grandeur en se ramenant à la définition de la grandeur :

  Par exemple : 

  90 km/h = 90 km en 1 h = 90000 m en 3600 s = 90000 3600 m/s = 25 m/s

  3 m/s = 3 m en 1 s = 0,003 km en 1/3600 h = 0,0003 1/3600 km/h =  0,003 3600 km/h = 10,8 km/h

  Autre exemple :

 1000 kg/m³ = 1000 kg pour 1 m³ = 1000 kg pour 1000 dm³ = 1 kg/dm³ = 1 kg/L

 Il peut être utile de connaître certains préfixes comme méga, kilo, milli, micro.

  Par exemple :

 1 kilogramme = 1 kg = 10³ g    ou    1 millimètre = 1 mm = 10^-3 m     ou     1 kilowattheure = 1 kWh = 10³ Wh

Multiples de l'unité

Sous multiples de l'unité

Expliquer les formules avec les pourcentages

Comment calculer 5 % d'un prix ?

 On note x = prix initial et y = somme correspondant au pourcentage sur le prix initial

 Finalement pour calculer 5% d'un nombre x, on multiplie x par 0,05

Pour augmenter  un prix de 5 %.

 On note x = prix initial et y = prix final

 y = x + hausse de 5% = x +  x = (1 + ) x = 1,05x

 Finalement, pour augmenter un prix x de 5%, on multiple x par 1,05

Pour diminuer un prix de 5 %.

 On note x = prix initial et y = prix final

 y = x - hausse de 5% = x -  x = (1 - ) x = 0,95x

 Finalement, pour augmenter un prix x de 5%, on multiple x par 1,05

Trois formules pour calculer avec les pourcentages

Pour calculer a % d'un nombre x, on multiplier x par . On trouve y :

y = x

  Pour augmenter un nombre x de a %, on multiplie le nombre x par (1 + ). On trouve y :

y = (1 + ) x

Pour diminuer un nombre x de a %, on multiplie ce nombre x par (1 - ). On trouve y :

y = (1 - ) x

Exemples de calculs avec les pourcentages

Un premier exemple d'utilisation de graphique

A ce sujet, on pourra consulter les chapitres de 3ième "les fonctions linéaires" et "les fonctions affines".

Un deuxième exemple d'utilisation de graphique