Les polygones réguliers

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Définition

 

Un polygone est une figure à plusieurs côtés (au moins trois côtés).

 

Un polygone est régulier si tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles ont la même mesure.

 

Exemples et contre-exemple

 

 

Un triangle équilatéral est un polygone régulier à trois côtés.

 

Ses trois côtés ont la même longueur.

Ses trois angles mesurent 60°.

 

 

Triangle équilatéral

 

 

Un carré est un polygone régulier à quatre côtés.

 

Ses quatre côtés ont la même longueur.

Ses quatre angles mesurent 90°.

 

 

Carré

 

 

Un losange n'est pas un polygone régulier.

 

Il a bien quatre côtés de même longueur, mais ses quatre angles n'ont pas la même mesure.

 

 

Losange

 

 

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 

Construire un triangle équilatéral, un carré, un hexagone régulier connaissant son centre et un sommet.

 

Un peu plus de vocabulaire

 

Un triangle est un polygone à 3 côtés

Un quadrilatère est un polygone à 4 côtés

Un pentagone est un polygone à 5 côtés

Un hexagone est un polygone à 6 côtés

Un heptagone est un polygone à 7 côtés

Un octogone est un polygone à 8 côtés

Un ennéagone est un polygone à 9 côtés

Un décagone est un polygone à 10 côtés

Un hendécagone est un polygone à 11 côtés

Un dodécagone est un polygone à 12 côtés

 

Vocabulaire

 

 

Construire un polygone connaissant la longueur d'un côté

 

 

figures initiale et finale

méthode

remarque

triangle

équilatéral

(3 côtés)

 

Tracer un triangle équilatéral de côté [AB]

Figure initiale

 figure initiale

 

Figure finale

figure finale

 

 

 - on trace un arc de cercle de centre A et passant par B.

 

 - on trace un arc de cercle de centre B et passant par A.

 

- on appelle C le point d'intersection de ces deux arcs.

 

On sait aussi que :

 

- les 3 angles d'un triangle équilatéral mesurent 60°.

 

 - il existe un cercle passant par les 3 sommets : c'est le cercle circonscrit au triangle.

 

Cercle circonscrit

 

L'angle au centre et l'angle inscrit interceptent le même arc AB

 

D'après le théorème de l'angle inscrit,

 

 

De la même façon :

 

 

carré

(4 côtés)

 

Tracer un carré de côté [AB]

Figure initiale

figure initiale

 

Figure finale

figure finale

 

 

- on trace la demi-droite perpendiculaire à [AB] passant par A

 

- sur cette demi-droite, on place un point C tel que AC = AB

 

- on trace la demi-droite perpendiculaire à [AB] passant par B

 

- sur cette demi-droite, on place un point D tel que BD = BA

 

- on trace le segment [CD]

 

On sait aussi que :

 

- les 4 angles du carré mesurent 90°.

 

- les diagonales du carré sont perpendiculaires, ont le même milieu et la même longueur. Il existe donc un cercle passant par les 4 sommets.

 

 

Cercle circonscrit

 

Les diagonales du carré étant perpendiculaires, on peut dire que  :

 

 

pentagone

(5 côtés)

 

Tracer un pentagone régulier de côté [AB]

Figure initiale

figure initiale

 

 

A ce stade du chapitre, il est plus difficile de tracer un polygone régulier à partir d'un côté, puisqu'on ne connaît pas la mesure de ses angles ...

 

La réponse est donnée à la fin du chapitre.

 

 

Comme pour le triangle et le carré, il existe un cercle passant par les 5 sommets. Si on nomme O le centre de ce cercle, on peut calculer facilement un angle comme .

 

Propriétés

 

 Étant donné un polygone, on peut tracer un cercle (et un seul) qui passe par tous les sommets du polygone. En maths, on dit qu'un polygone est inscriptible dans un cercle.

 

  - ce cercle est appelé cercle circonscrit au polygone régulier.

 

  - le centre de ce cercle est appelé centre du polygone régulier.

 

Si un polygone à n côtés et de centre O est régulier alors :

 

 - l'image de ce polygone par la rotation de centre O et d'angle est le polygone lui-même.

 

  - tous les angles au centre du polygone régulier mesurent .

 

 

Premiers exemples (3 - 4 - 5 - 6 côtés)

 

triangle

équilatéral

carré

pentagone

régulier

hexagone

régulier

 

Triangle équilatéral

 

 

Carré

 

 

Pentagone régulier

 

 

Hexagone régulier

 

3 côtés

angle au centre = 120°

4 côtés

angle au centre = 90°

5 côtés

angle au centre = 72°

6 côtés

angle au centre = 60°

1 centre de symétrie O

 

3 axes de symétrie,

qui sont les médiatrices

des 3 côtés

(chacune passant par le centre O

et le sommet opposé)

 

3 rotations de centre O

et d'angles

0°, 120°, 240°

transforment

le polygone en lui même

1 centre de symétrie O

 

4 axes de symétrie,

les 2 diagonales

et les médiatrices

de 2 côtés consécutifs

(chacune passant par le centre O et le milieu du côté opposé)

 

4 rotations de centre O

et d'angles

0°, 90°, 180°, 270°

transforment

le polygone en lui même

1 centre de symétrie O

 

5 axes de symétrie,

qui sont les médiatrices

des 5 côtés

(chacune passant par le centre O

et le sommet opposé)

 

5 rotations de centre O

et d'angles

0°, 72°, 144°, 216°, 288°

transforment

le polygone en lui même

1 centre de symétrie O

 

6 axes de symétrie,

les droites passant le centre O

et 3 sommets consécutifs

(chacune passant par le sommet opposé)

et les médiatrices

de 3 côtés consécutifs

(chacune passant par le centre O et le milieu du côté opposé)

 

6 rotations de centre O

et d'angles

0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°

transforment

le polygone en lui même

 

Construire un polygone connaissant son centre et un sommet (première méthode)

 

 

figure initiale

figure finale

méthode

carré

 

Tracer un carré de centre O et de sommet A

Figure initiale

 

 

Carré

 

 

 - on trace le cercle de centre O et passant par A.

 

 - on trace les diamètres perpendiculaires [AC] et [BD].

 

 - ABCD est un carré.

 

* on rappelle qu'un diamètre est une corde qui passe par le centre du cercle.

 

hexagone

régulier

 

Tracer un hexagone régulier de centre O et de sommet A

Figure initiale

 

 

Hexagone régulier

 

 

 - on trace le cercle de centre O et passant par A.

 

 - avec le compas, on marque les points B, C, D, E et F tels que   OA = AB = BC = CD = DE = EF

 

 - ABCDEF est un hexagone régulier.

 

triangle

équilatéral

 

Tracer un triangle équilatéral de centre O et de sommet A

Figure initiale

 

 

Triangle équilatéral

 

 

 - on procède comme avant en reliant un point sur deux.

 

 - ACE est un triangle équilatéral.

 

Construire un polygone régulier connaissant son centre et un sommet (deuxième méthode)

 

 

figure initiale

figure finale

méthode

carré

 

Tracer un carré de centre O et de sommet A

Figure initiale

 

 

Carré

 

 

 - on construit l’image B de A par la rotation de centre O et d’angle 90 °.

 

 - puis l’image C de B par cette rotation.

 

 - puis l’image D de C par cette rotation.

 

 - ABCD est un carré.

 

hexagone

régulier

 

Tracer un hexagone régulier de centre O et de sommet A

Figure initiale

 

 

Hexagone régulier

 

 

 

 - on construit l’image B de A par la rotation de centre O et d’angle 60 °.

 

 - puis l’image C de B par cette rotation.

 

 - puis l’image D de C par cette rotation.

 

 - etc

 

 - ABCDEF est un hexagone régulier.

 

triangle

équilatéral

 

Tracer un triangle équilatéral de centre O et de sommet A 

Figure initiale

 

 

Triangle équilatéral

 

 

 - on construit l’image C de A par la rotation de centre O et angle 120°.

 

 - puis l’image E de C par cette rotation.

 

 - ACE est un triangle équilatéral.

 

 

Propriété supplémentaire (non exigible)

 

Si un polygone à n côtés et de centre O est régulier alors ses n angles mesurent tous 180 - 360/n.

 

Démonstration rapide de cette formule avec n = 5 (on pourra généraliser en remplaçant n par 5 dans ce qui suit)

    Les angles au centre du polygone mesurent tous c'est à dire 72°.

     

    Le triangle OAB est isocèle en O donc ses angles à la base sont égaux.

    De plus, la somme de ses angles est égale à 180°

    Donc : l'angle  mesure (180 - 72) 2 c'est à dire 54°

     

    On procède de la même façon pour l'angle qui mesure lui aussi 54°

     

    Donc :   .

Pentagone régulier

 

 Conséquence : tracer un pentagone ou un hexagone réguliers à partir d'un côté (voir le début de chapitre)

 

 

figure initiale

figure finale

méthode

pentagone

régulier

(5 côtés)

 

Tracer un pentagone régulier de côté [AB]

Figure initiale

 

 

Figure finale

 

 

  D'après ce qui précède, on sait que les angles d'un pentagone régulier mesurent 108°.

 

  - on construit l’image C de A par la rotation de centre B et d’angle 108 °.

 

 - puis l’image D de B par la rotation de centre C et d'angle 108°.

 

- puis l’image E de C par la rotation de centre D et d'angle 108°.

 

 - ABCDE est un pentagone régulier.

 

hexagone

régulier

(6 côtés)

 

Tracer un hexagone régulier de côté [AB]

Figure initiale

 

 

 Figure finale

 

 

  D'après ce qui précède, on sait que les angles d'un pentagone régulier mesurent 120°.

 

  - on construit l’image C de A par la rotation de centre B et d’angle 120 °.

 

 - puis l’image D de B par la rotation de centre C et d'angle 120°.

 

- puis l’image E de C par la rotation de centre D et d'angle 120°.

 

 

- puis l’image F de D par la rotation de centre E et d'angle 120°.

 

 - ABCDEF est un hexagone régulier