A quoi ça sert ?

 A la fin de l'année de 4ième, on sait simplifier au maximum la fraction en une seule étape :

 L'objectif de ce chapitre de 3ième est de simplifier au maximum et en une seule étape une fraction comme : 

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre :

 1) Déterminer si deux nombres entiers donnés sont premiers entre eux.

 2) Savoir qu'une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

 3) Simplifier une fraction donnée pour la rendre irréductible.

Les ensembles de nombres

Les entiers naturels 

 

Ce sont les nombres les plus simples : 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 ...

Il y en a une infinité. 

 

Les nombres décimaux

 

Les nombres décimaux sont ceux dont l'écriture décimale (avec une éventuelle virgule) s'arrête.

Par exemple : 5,78  -  2,8  -  4,0 - 1,3333

 

Remarquons que les nombres entiers sont aussi des nombres décimaux. En général, on les écrit sans aucune virgule.

Par exemple : 4 = 4,0   ou    12 = 12,00

 

Les nombres, dont l'écriture décimale ne s'arrête pas, ne sont pas décimaux.

On peut penser à 1,333333... (qui comporte une infinité de 3 après la virgule),

et qui est le quotient de la division décimale de 4 par 3.  

 

Les nombres rationnels  

 

Les nombres rationnels sont des quotients de divisions décimales.

Ils peuvent s'écrire sous la forme où a et b sont des nombres entiers.

Par exemple :  -  

 

Remarquons que tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels :

   -    

 

Certains nombres non décimaux sont aussi des nombres rationnels.

C'est le cas de 1,333...qui est égal à .

 

 Les nombres irrationnels 

 

Les nombres irrationnels sont ceux qui ne sont pas rationnels.

Ils ne peuvent pas s'écrire sous la forme où a et b sont des nombres entiers.

Par exemple : ou

 

 Les nombres réels 

 

L'ensemble de tous ces nombres constitue les nombres réels positifs.

Les mêmes nombres précédés d'un signe - sont des réels négatifs (naturel négatif, décimal négatif ...)

 

 Au lycée, on étudie de nouveaux nombres appelés nombres complexes.

Attention : il ne faut pas confondre un nombre avec ses différentes écritures.

En effet :

Un peu de vocabulaire

On suppose ici que a et b sont deux nombres entiers naturels.

On s'intéresse à la division euclidienne de a par b.

Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0, on dit que :

- b est un diviseur de a

- a est un multiple de b

- a est divisible par b 

Dans ce cas , on peut écrire a = b q où q est le quotient de la division euclidienne de a par b

Par exemple

Lorsqu'on écrit la division euclidienne de 84 par 4 en ligne : 84 = (4 21) + 0

Donc :

- 4 est un diviseur de 84

- 84 est un multiple de 4

- 84 est divisible par 4

On écrit tout simplement 84 = 4 21

Comment voir si un nombre est divisible par un autre sans poser la division ?

 Un nombre est divisible par :

- 2 si son chiffre des unités est pair

 

- 3 si la somme des chiffres est divisible par 3

 

- 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5

 

- 6 s'il est divisible par 2 et par 3 à la fois

 

- 9 si la somme des chiffres est divisible par 9

 

- 10 si son chiffre des unités est 0

 

- 11 si la différence entre la somme des chiffres de rang pair et le somme des chiffres de rang impair est divisible par 11

   

Qu'appelle t-on PGCD de deux nombres ?

On suppose ici que a et b sont deux nombres entiers naturels.

 Un diviseur commun aux deux nombres a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b.

Parmi les diviseurs communs à deux entiers naturels a et b, l’un est plus grand que tous les autres. On l’appelle Plus Grand Commun Diviseur de a et b. On le note PGCD(a ; b).

On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.

Autrement dit, leur seul diviseur commun est 1.

Simplifier une fraction

Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Dans ce cas, 1 est le seul diviseur de a et b, et on ne peut pas simplifier la fraction.

Pour simplifier une fraction au maximum (on dit encore rendre irréductible), on cherche le PGCD du numérateur et du dénominateur. On simplifie alors par ce PGCD.

Exemples

Trouver les diviseurs communs à 12 et 18 (à la main) :

Diviseurs de 12 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12

 

Diviseurs de 18 : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18

 

Diviseurs communs à 12 et 18 :  1 ; 2 ; 3 ; 6

 

PGCD(12 ; 18) = 6

 

12 et 18 ne sont pas premiers entre eux.

 

Conséquence : on peut simplifier la fraction en une seule étape :

 



 

Trouver les diviseurs communs à 16 et 63 (à la main) :

Diviseurs de 16 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16

 

Diviseurs de 63 : 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63

 

Un seul diviseur commun à 16 et 63 : 1

 

PGCD(126 ; 63) = 1

 

16 et 63 sont premiers entre eux

 

Conséquence : on ne peut pas simplifier la fraction . Elle est irréductible.

Recherche du PGCD à l'aide de l'algorithme d'EUCLIDE (EUCLIDE est un mathématicien grec du 3ième siècle av. J.C.)