Définition

Une inéquation à une inconnue est une inégalité dans laquelle figure un nombre inconnu, souvent désigné par la lettre x. C'est donc une expression de l'une des formes suivantes :

...  < ...            ...     ...               ..  .>  ...             ... ....

Résoudre une inéquation, c'est trouver la ou les valeurs possibles du nombre inconnu x.

Ce ou ces valeurs s'appellent les solutions. On cherche donc à écrire :

x  < ...            x     ...               x >  ...             x ....

Le membre de gauche est l'expression située à gauche du signe d'inégalité, et le membre de droite est l'expression située à droite du signe d'inégalité. Par exemple :

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 1 ) Utiliser le fait que des nombres relatifs ab et ac sont dans le même ordre que b et c si a est strictement positif, dans l'ordre inverse si a est strictement négatif.

 2 ) Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue à coefficients numériques.

  3) Représenter ses solutions sur une droite graduée.

  4) Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une inéquation.

Tester si un nombre est une solution

Calculons 2 x + 5 et x + 9 pour plusieurs valeurs de x :

Si on demande de résoudre l'inéquation 2x + 5 > x + 9, on peut déjà dire que 7 est une solution. Y-en a-t-il d'autres ? Peut-on les représenter graphiquement ?

Si on demande de résoudre l'inéquation 2x + 5 < x + 9, on peut déjà dire que 3 est une solution. Y-en a-t-il d'autres ?

Quatre propriétés pour résoudre une inéquation

Les nombres relatifs a + c et b + c sont dans le même ordre que a et b.

Si   a > b   alors   a + c > b + c

Si   a < b   alors   a + c < b + c

Les nombres relatifs a - c et b - c sont dans le même ordre que a et b.

Si   a > b   alors   a - c > b - c

Si   a < b   alors   a - c < b - c

Attention :

Si c est strictement positif, alors les nombres relatifs c a et c b sont dans le même ordre que a et b.

Si c est strictement négatif, alors les nombres relatifs c a et c b sont dans l'ordre inverse de a et b.

Si   a > b   et  c > 0   alors   c a  > c b

Si   a < b   et  c > 0   alors   c a  < c b

Si   a > b   et  c < 0   alors   c a  < c b

Si   a < b   et  c < 0   alors   c a  > c b

Si c est strictement positif, alors les nombres relatifs a c et b c sont dans le même ordre que a et b.

Si c est strictement négatif, alors les nombres relatifs a c et b c sont dans l'ordre inverse de a et b.

Si   a > b   et  c > 0   alors   a c  > b c

Si   a < b   et  c > 0   alors   a c  < b c

Si   a > b   et  c < 0   alors   a c  < b c

Si   a < b   et  c < 0   alors   a c  > b c

Méthode de résolution

En général, on essaie d’isoler x dans un membre à l’aide pour se ramener à une inéquation simple du type :

ax < b     ou     ax > b

- on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une inéquation sans changer le sens de l’inégalité.

- on peut multiplier ou diviser par un même nombre POSITIF les deux membres d’une équation sans changer le sens de l’inégalité.

 -on peut multiplier ou diviser par un même nombre NEGATIF les deux membres à condition de changer le sens de l’inégalité.

Quelques exemples simples

Illustration 1

Résoudre 2 x + 4 < 10

J'isole les nombres à droite et je réduis chaque membre :

2 x + 4 - 4   < 10 - 4

2 x < 6

Les termes en x étant isolés, j'écris " x = " et je réduis :

Le nombre 2 étant positif, l'ordre de l'inégalité est conservé lorsque je divise par 2.

x < 3

Tous les nombres strictement inférieur à 3 sont les solutions de l'inéquation.

On représente graphiquement les solutions de l'inéquation sur une droite graduée.

Illustration 2 : même exemple avec une méthode nuancée (nous dirons que c'est la méthode 3ième)

Résoudre 2 x + 4 < 10

J'isole les nombres à droite et je réduis chaque membre :

L'objectif est de supprimer l'expression + 4 de gauche. Je soustrais donc 4 à chaque membre. A gauche, je n'écris plus + 4 - 4 qui est égal à 0. J'écris seulement - 4 à droite.

Finalement, tout ce passe comme si l'expression de gauche + 4 était passée à droite moyennant le changement de signe + en - .

2 x < 10 - 4

2 x < 6

Les termes en x étant isolés, j'écris " x = " et je réduis :

Le nombre 2 étant positif, l'ordre de l'inégalité est conservé lorsque je divise par 2.

L'objectif est de supprimer le coefficient 2. Je divise donc par 2 chaque membre. A gauche, je n'écris plus  qui est égal à x. J'écris directement x à gauche et à droite.

Finalement, tout ce passe comme si l'expression de gauche 2 était passée à droite moyennant le changement de signe en   .

x < 3

On conclut comme avant.

Illustration 3

Résoudre 4x   -   8   >   x   -    14

 J'isole les termes en x à gauche et je réduis chaque membre :

 4x  -  8  - x   >   -  14

3 x  -  8 > - 14

 J'isole les nombres à droite et je réduis chaque membre :

3 x   > - 14 + 8

3 x > - 6

 Les termes en x étant isolés, j'écris " x = " et je réduis :

 Le nombre 3 étant positif, l'ordre de l'inégalité est conservé lorsque je divise par 3.

x > - 2

Tous les nombres strictement supérieur à  - 2 sont les solutions de l'inéquation.

On représente graphiquement les solutions de l'inéquation sur une droite graduée.

Illustration 4

Résoudre 3x + 7    5 (1 + x)  

Je développe le membre de droite et je le réduis :

3 x + 7 5 1 + 5 x

3 x + 7    5 + 5 x

J'isole les termes en x à gauche et je réduis chaque membre :

3 x + 7 - 5 x    5 

- 2 x + 7  5

 J'isole les nombres à droite et je réduis chaque membre :

- 2 x   5 - 7

- 2 x   - 2

Les termes en x étant isolés, j'écris " x = " et je réduis :

Le nombre -2 étant négatif, l'ordre de l'inégalité est inversé lorsque je divise par -2.

x

x 1

Tous les nombres strictement supérieur à 1 sont les solutions de l'inéquation.

On représente graphiquement les solutions de l'inéquation sur une droite graduée.

Illustration 5 : résoudre un problème

Sujet de brevet – juin 1998

La société TELE77 propose un abonnement téléphonique de 14 € par mois et 0,25 € par minute de communication.

La société CEGEL propose un abonnement téléphonique de 17 € par mois et 0,10 € par minute de communication.

Pour quelles durées de communication (en min) a-t-on intérêt à choisir la société TELE77 ?

 1 ) Durée de communication cherchée : x (en min)

2 ) Mise en inéquation :

La société TELE77 est plus intéressante que la société CEGEL si  

14 + 0,25 x < 17 + 0,10 x

 3 ) Résolution de l'inéquation :

14 + 0,25 x - 0,10 x < 17

14 + 0,15 x < 17

0,15 x < 17 - 14

0,15 x < 3

x <

x < 20

 Tous les nombres strictement inférieur à 20 sont les solutions de l'inéquation.

4 ) On a intérêt à choisir la société A pour une durée de communication inférieure à 20 minutes. Pour 20 min exactement, les abonnements reviennent à payer la même chose.

Illustration 6 : résoudre un problème

Jocelyn, le fils de Marcel, dispose d'un billet de 20 €.

Dans un vide-greniers, il désire acheter des cartes de sa série préférée.

Les cartes d'Enchanteurs coûtent 10 centimes de plus que les cartes de Compagnons.

Il a trouver et acheter 6 cartes de Compagnons et 22 cartes d'Enchanteurs.

Combien peut coûter une carte de Compagnons sachant que Jocelyn n'a pas dépenser tout son argent et que le prix minimum d'une carte est fixé à 0,50 € ?

 1 ) Prix d'une carte de Compagnon : x  €

 2 ) Mise en inéquation :  6x + 22( x + 0,10) < 20

 3 ) Résolution de l'inéquation :

 

6x + 22 x + 22 0,10 < 20

6x + 22x + 2,2 < 20

28x + 2,2 < 20

28x < 20 - 2,2

28x < 17,8

x <  avec  0,635

Tous les x tels que 0,50 x <  sont les solutions de l'inéquation

4 ) Le prix d'une carte de Compagnons peut être :

0,50 - 0,51 - 0,52 - 0,53 - 0,54 - 0,55 - 0,56 - 0,57 - 0,58 - 0,59 - 0,60 - 0,61 - 0,62 - 0,63 €.

Illustration 7 : résoudre un problème de géométrie

On suppose que l'unité de longueur est le cm, et que l'aire du rectangle ABCD est strictement inférieure à 35 cm².

Sachant que x est un nombre entier, quelle peut être sa valeur ?

 1 ) x est l'inconnue de la figure (en cm)

 2 ) Mise en inéquation : 6 ( x - 5 ) < 35

 3) Résolution de l'inéquation :

 

6 x - 6 5 < 35

6x - 30 < 35

6x < 35 + 30

6x < 65

x < avec = 16,25

Tous les x tels que x < 16,25 sont les solutions de l'inéquation.

 4) Le rectangle ne peut exister que si la longueur AD est positive c'est à dire si x  5. Le nombre x peut être : 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 - 14 - 15 - 16 cm