D'abord un exemple concret

Le 1er janvier 2002, en France, l'euro a remplacé le franc, avec comme taux de conversion :

1 € = 6,55957 F

Aujourd'hui, certaines personnes éprouvent encore le besoin de convertir des  € en F pour se faire une meilleure idée des prix qu'elles manipulent.

prix en F = 6,55957 prix en €

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 1 ) Connaître la notation x ax pour une valeur numérique de a fixée.

 2 ) Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linéaire à partir de la donnée d'un nombre non nul et de son image.

  3 ) Représenter graphiquement une fonction linéaire.

 4 ) Lire sur la représentation graphique d'une fonction linéaire l'image d'un nombre donné et le nombre ayant une image donnée.

Qu'est ce qu'une fonction linéaire ?

  Soit a un nombre fixé et connu.

A chaque nombre x, on peut associer le nombre ax.

On dit plutôt que : ax est l'image du nombre x.

On résume par le schéma :

x ax

où signifie "a pour image "

 Le procédé qui consiste à associer le nombre ax au nombre x s'appelle fonction linéaire de coefficient a.

Si on appelle f  la fonction linéaire de coefficient a, on résume en écrivant :

f : x ax

On aurait pu noter f _x l'image de x par cette fonction linéaire et dans ce cas  f _x= ax.

On écrit plutôt f ( x ) = ax

f ( x ) se lit " f de x "

Il faut voir f ( x ) comme l'image du nombre x par la fonction f.

Pourquoi le mot linéaire ?

Les fonctions linéaires font parties des fonctions les plus simples qu'on puisse manipuler en maths. Dans l'exemple, on a vu que la fonction x 6,55957x est associée à un tableau de proportionnalité, et des points alignés ( sur une droite ) d'où le mot linéaire.

A l'avenir, on peut imaginer des fonctions plus compliquées :

f : x 2x + 3             ( programme de 3ième )

f : x x ² + 5x + 4   ( programme de 2nde )

Représentation graphique

Soit f : xax une fonction linéaire de coefficient a.

Qu'appelle t-on représentation graphique ?

Dans un repère, la représentation graphique de la fonction est l’ensemble de tous les  points de coordonnées (x ; ax) avec x = nombre réel quelconque.

On peut remplir un tableau de proportionnalité pour trouver les coordonnées de quelques points :

Comment placer une infinité de points dans un graphique ? Grâce à la propriété graphique.

Propriété graphique

La représentation graphique de f : x ax est une droite qui passe par l’origine du repère.

- elle passe aussi par le point de coordonnées ( 1 ; a )

- elle a pour équation y = ax

Ce qui signifie :

Tous les points de la droite ont pour coordonnées ( x ; y) avec  y = ax

Tous les points de la droite ont pour coordonnées ( x ; ax )

 Remarques

 - a est appelé coefficient directeur de la droite

 - si un point du plan a pour coordonnées ( x ; ax ) alors c'est un point de la droite d'équation y = ax.

 - si une droite passe par l'origine d'un repère, alors c'est la représentation graphique d'une fonction linéaire.

Interprétation graphique du coefficient directeur

Soit f : x ax la fonction linéaire de coefficient a.

Soit (d ) la droite d'équation y = ax

 Sens de variation

 Proportionnalité des accroissements

Si M est un point de la droite ( d ), alors le point N obtenu par la translation dont le vecteur a pour coordonnées ( 1 ; a ) est aussi un point de la droite ( d ).

Par conséquent :

Si x₁ est un nombre réel quelconque. Alors on peut calculer le coefficient directeur a si on connaît son image f( x₁) :

On pourra consulter le chapitre de troisième "les fonctions affines" pour une formule plus générale.

Premier exemple

Deuxième exemple

Déterminer une fonction linéaire par le calcul

Premier exemple : déterminer la fonction linéaire f telle que l'image du nombre 2 est - 7

 

 On cherche le coefficient a de la fonction linéaire f : x ax

 

f ( 2 ) = - 7    signifie     a 2 = - 7         donc         a = - 3,5

 

Le coefficient de f est - 3,5 et la fonction est f : x - 3,5x

Deuxième exemple : déterminer la fonction g telle que l'image du nombre -3 est 12

 

 On cherche le coefficient a de la fonction linéaire g : x ax

 

g ( - 3 ) = -12    signifie     a ( - 3 ) = - 12         donc         a = 4

 

Le coefficient de g est 4 et la fonction est g : x 4x

Troisième exemple : déterminer la fonction h telle que l'image du nombre est 6

 

 On cherche le coefficient a de la fonction linéaire h : xax

 

h (  ) = 6    signifie     a  = 6         donc         a = 4

 

Le coefficient de h est 4 et la fonction est : h : x 4x

Déterminer une fonction linéaire graphiquement

Premier exemple : déterminer la fonction linéaire f qui est représentée par la droite (d)

 

On cherche le coefficient de la fonction linéaire f : xax

 

Le point A( 4 ; 2 ) appartient à la droite (d)  signifie  f ( 4 ) = 2

 

donc        a 4 = 2        et          a  = = 0,5

 

Le coefficient de f est 0,5 et la fonction est f : x 0,5x

 

Deuxième exemple : déterminer la fonction linéaire g qui est représentée par la droite (d')

 

On cherche le coefficient de la fonction linéaire g : xax

 

Le point B( 3 ; -4 ) appartient à la droite (d' )  signifie  g ( 3 ) = -4

 

donc        a 3 = -4        et          a  =

 

Le coefficient de g est et la fonction est g : xx

Exemple de fonction non-linéaire