D'abord un exemple concret

Une société loue des véhicules à la journée selon le tarif suivant :

15 €  pour frais de dossier et assurance

et

0,50 €  par kilomètre parcouru

prix en € =  (0,50 nombre de km ) + 15

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 1 ) Connaître la notation x ax + b pour des valeurs numériques de a et b fixés.

 2 ) Déterminer une fonction affine par la donnée de deux nombres et de leurs images.

  3 ) Représenter graphiquement une fonction affine.

 4 ) Lire sur la représentation graphique d'une fonction affine l'image d'un nombre donné et le nombre ayant une image donnée.

Qu'est ce qu'une fonction affine ?

  Soient a et b deux nombres fixés et connus.

A chaque nombre x, on peut associer le nombre ax + b.

On dit plutôt que : ax + b est l'image du nombre x.

On résume par le schéma :

x ax + b

où signifie "a pour image "

 Le procédé qui consiste à associer le nombre ax + b au nombre x s'appelle fonction affine.

Si on appelle f  cette fonction affine, on résume en écrivant :

f : x ax + b

On aurait pu noter f _x l'image de x par cette fonction affine et dans ce cas  f _x= ax + b.

On écrit plutôt f ( x ) = ax + b

f ( x ) se lit " f de x "

Il faut voir f ( x ) comme l'image du nombre x par la fonction f.

Cas particuliers de fonctions affines

 - les fonctions linéaires sont des cas particuliers de fonctions affines.

Elles sont de la forme x ax + 0

 - les fonctions constantes sont des cas particuliers de fonctions affines.

Elles sont de la forme x 0x + a

Représentation graphique

Lien avec les fonctions linéaires

On considère la fonction affine f :ax + b.

 - on appelle ( d ) la droite d'équation y = ax + b, représentation graphique de la fonction f.

 - à cette fonction, on peut associer la fonction linéaire g : x ax obtenue en gardant le coefficient a.

 - on appelle ( d' ) la droite d'équation y = ax, représentation graphique de la fonction g.

On constate que :

 - les droites ( d ) et ( d' ) sont parallèles. En effet, la droite ( d' ) est l'image de la droite ( d ) par la translation dont le vecteur a pour coordonnées (0 ; b)

 - si M est un point de la droite ( d ), alors le point N obtenu par la translation dont le vecteur a pour coordonnées ( 1 ; a ) est aussi un point de la droite ( d ).

Proportionnalité des accroissements

Si x₁ et x₂ sont des nombres réels quelconques. Alors on peut calculer le coefficient directeur a si on connaît leurs images f( x₁) et f(x₂ ) :

On dit que "il y a proportionnalité entre les accroissements de f(x) et les accroissements de x"

On pourra consulter les exemples de fin de page qui illustrent cette formule.

Interprétation graphique du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine

Soient f : x ax + b une fonction affine et ( d ) la droite d'équation y = ax + b

On peut être plus précis :

- plus le nombre a est proche de 0, et plus la droite est horizontale.

- plus le nombre est grand ("en étant positif ou négatif") et plus la droite est verticale.

Exemple fondamental

Déterminer une fonction affine par le calcul

Premier exemple : avec les systèmes linéaires à deux inconnues.

Déterminer la fonction affine f telle que l'image du nombre 3 est 8 et l'image du nombre 5 est 12.

 

 On cherche le coefficient a et l'ordonnée à l'origine b

de la fonction affine f : xax + b

 

f ( 3 ) = 8    signifie     a 3 + b = 8

f ( 5 ) =12   signifie     a 5 + b = 12

 

On résout donc le système  à deux inconnues qui sont a et b :

 



 

Après calculs, le système a pour solution le couple ( 2 ; 2 ).

 

La fonction est f : x 2x + 2

Deuxième exemple : avec les équations à une inconnue.

Déterminer la fonction affine g telle que l'image du nombre 2 est 6 et l'image du nombre 10 est -2.

 

 On cherche le coefficient a et l'ordonnée à l'origine b

de la fonction affine g : x ax + b

 

On sait que

 

La fonction g est déjà de la forme g : x -x + b

 

Déterminons b en sachant que g(2) = 6 c'est à dire -2 + b = 6

b = 6 - ( -2) = 8

 

La fonction est g : -x + 8

 

Déterminer une fonction linéaire graphiquement

Déterminer la fonction affine f qui est représentée par la droite (d)

On constate que la droite descend de la gauche vers la droite (le coefficient directeur sera donc négatif) et la droite coupe l'axe des ordonnées au dessus de l'origine (l'ordonnée à l'origine sera donc positif).

Première possibilité :

On cherche le coefficient a et l'ordonnée à l'origine b

de la fonction affine f : xax + b

 

On détermine deux points de la droite (d)

 

Le point A(2 ; 3) appartient à (d) donc f(2) = 3   c-a-d   a 2 + b = 3

Le point B(6;1) appartient à la droite (d) donc f(6) = 1  c-a-d   a 6 + b = 1

 

On résout donc le système :

 

 

Après calculs, le système a pour coordonnées le couple (-0,5 ; 4)

 

 La fonction est f : x -0,5x + 4

 

 Deuxième possibilité :

On cherche le coefficient a et l'ordonnée à l'origine b

de la fonction affine f : x ax + b

 

 On sait que

 

La fonction f est déjà de la forme g : x -0,5x + b

 

Déterminons b en sachant que f(2) = 3 c'est à dire -0,5 2 + b = 3

-1 + b = 3 donc b = 3 - ( - 1) = 4

 

La fonction est f : x -0,5x + 4