Les équations à une inconnue

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Déjà des équations en 4ième

 

En 4ième, on apprend à résoudre des équations du type :

     

    3x - 7 = 8 ou 13x - 7 = 2x - 29

 

Toutes ces équations :

 

    - ne comporte qu'une seule lettre x.

     

    On dit que ce sont des équations à une inconnue.

     

    -  pour résoudre ces équations, on se ramène toujours à une seule équation simple du type ax = b. Il n'y a pas de x 2, pas de x 3, pas de x 4. 

     

    On dit que ce sont des équations du premier degré.

 

A ce sujet, on pourra consulter le chapitre de 4ième : "les équations "

 

 

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 

 1 ) Résoudre une équation mise sous la forme A B = 0 où A et B désignent deux expressions du premier degré de la même variable.

 

 2 ) Mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation.

 

 

Les équations de 4ième

 

 

Définition

 

Une équation à une inconnue est une égalité ( ...... =  ...... ) dans laquelle figure un nombre inconnu, souvent désigné par la lettre x.

 

Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs possibles du nombre inconnu x.

Ce ou ces valeurs s'appellent les solutions.

 

Le membre de gauche est l'expression située à gauche du signe =, et le membre de droite est l'expression située à droite du signe =. Par exemple :

 

2x + 8

=

x + 7

membre de gauche

ou

premier membre

 

membre de droite

ou

second membre

 

 

Méthode de résolution

 

En général, on essaie d’isoler x dans un membre à l’aide des règles suivantes :

 

 - on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres d’une équation

 

Règles utilisées :

 

Si a = b alors a + c = b + c

 

 Si a = b alors a - c = b - c

 

 - on peut multiplier ou diviser par un même nombre non nul les deux membres d’une équation.

Règles utilisées :

 

Si a = b alors a  c = b  c

 

 Si a = b alors a  c = b  c

 

On essaie donc dès le départ de développer chaque membre, s'ils sont écrits avec des parenthèses.

 

 

Un exemple (avec la méthode de 4ième)

 

Résoudre 3x + 7  =  2 (1 – x)  

 

 Je développe le membre de droite et je le réduis :

 

  3x + 7 = 2 1 - 2 x

 

3x + 7  =  2 - 2x

 

 J'isole les termes en x à gauche et je réduis chaque membre :

 

3x + 7 + 2x  = 2 - 2x  + 2x

 

5x + 7 = 2

 

 J'isole les nombres à droite et je réduis chaque membre :

 

 5x + 7 - 7    =   2 - 7

 

5x = -5

 

 Les termes en x étant isolés, j'écris " x = " et je réduis :

 

 

x = - 1

 

 La seule solution de l'équation est -1.

 

Vérification :

 

Si x = - 1

 

D'une part : 3x + 7 = 3 (-1) + 7 = - 3 + 7 = 4

 

D'autre part : 2 ( 1 - x ) = 2 ( 1 - (-1)) = 2 ( 1 + 1 ) = 2 2 = 4

 

Ainsi : 3x + 7 = 2 (1 + x)

 

 

Le même exemple en nuançant la méthode (nous dirons que c'est la méthode 3ième utilisée aussi au lycée en 2nde).

 

Résoudre 3x + 7  =  2 (1 – x)  

 

Je développe le membre de droite et je le réduis :

 

3x + 7 = 2 1 - 2 x

 

3x + 7  =  2  - 2x

 

 J'isole les termes en x à gauche et je réduis chaque membre.

 

 L'objectif est de supprimer l'expression - 2x de droite. J'ajoute donc 2x  à chaque membre. A droite, je n'écris plus -2x + 2x qui est égal à 0. J'écris seulement + 2x à gauche.

 

Finalement, tout ce passe comme si l'expression de droite -2x était passée à gauche moyennant le changement de signe - en + .

 

3x + 7 + 2x  = 2

 

5x + 7 = 2

 

J'isole les nombres à droite et je réduis chaque membre .

 

L'objectif est de supprimer l'expression -+ 7 de gauche. Je soustrais donc 7 à chaque membre. A gauche, je n'écris plus + 7 - 7 qui est égal à 0. J'écris seulement - 7à gauche.

 

Je "passe" donc l'expression + 7 de droite à gauche moyennant le changement de signe + en -.

 

 5x  =  2   - 7

 

5x = -5

 

Les termes en x étant isolés, j'écris " x = " et je réduis :

 

L'objectif est de supprimer le coefficient 5 de 5x. Je divise donc chaque membre par 5. A gauche, je n'écris plus qui est égal à x. J'écris directement x à gauche et à droite.

 

Finalement, tout ce passe comme si l'expression de gauche 5 était passée à droite moyennant le changement de signe en   .

 

x =

 

x = - 1

 

La seule solution de l'équation est -1.

 

 

Les nouvelles équations de 3ième : les équations produit

 

Toutes les équations de 4ième se ramènent à une équation plus simple ax = b.

 

Si en développant chaque membre d'une équation et en réduisant, il reste des termes en x2 , alors il ne faut surtout pas développer ( il s'agit alors d'une équation du 2ième degré).

 

Par exemple comment résoudre les équations ?

 

      (2x - 1) ( x + 3) = 0          ou                x2 + 6x + 9 = 0

 

     (2x + 3 )2 = 16                 ou                 ( 2x - 3 ) ( x + 4 )  -  ( 2x - 3 ) ( 7 - 4x ) = 0

 

Il faudra :

 

 1 ) Se ramener à une équation du type ... = 0 ( le membre de droite est égal à 0)

 

 2 ) Factoriser le membre de gauche

 

 3 ) Se ramener à une équation-produit du type A B = 0

En 3ième, ce sera une équation du type (ax ± b) (cx ± d ) = 0

 

 4 ) Appliquer la première règle ci-contre et trouver les solutions des deux équation A = 0 et B = 0

 

 

Propriétés

 

Il est clair que :

 

Si l’un des facteurs d’un produit est nul, alors ce produit est nul

 

Si a = 0  ou   b = 0 alors ab = 0

 

L'énoncé réciproque est vrai :

 

Si un produit est nul, alors l’un au moins de ses facteurs est nul.

 

Si a b = 0, alors   a = 0   ou   b = 0

 

 

 

 

Illustration 1 : exemple fondamental

 

Résoudre (2x - 1) ( x + 3) = 0

 

(2x - 1) ( x + 3) = 0 est une équation-produit dont les facteurs sont 2x - 1 et x + 3.

 

Si un produit est nul, alors l’un au moins de ses facteurs est nul.

 

Donc :

 

2x - 1 = 0

2x = 1

x =

ou

x + 3 = 0

x = -3

 

L'équation a deux solutions et -3.

 

Remarques :

 

 - En 3ième, on est donc amené finalement à résoudre deux équations du premier degré.

 

  - Le cas général sera traité au lycée en classe de première (car toutes les équations du deuxième degré ne se ramène pas à une équation produit !).

 

 

Illustration 2

 

Résoudre x2 + 6x + 9 = 0

 

On factorise le membre de gauche avec l'identité remarquable  a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

 

x 2 + 6x + 9 est de la forme x2 + 2 x 3 + 32 ou encore (x + 3) 2

 

Résoudre x2 + 6x + 9 = 0 revient à résoudre l'équation-produit (x + 3)2 = 0 dont les facteurs sont les mêmes x + 3 et x + 3.

 

Si un produit est nul, alors l’un au moins de ses facteurs est nul.

 

Donc :

 

x + 3 = 0

x = -3

ou

Inutile ici de résoudre

deux fois

l'équation x + 3 = 0

 

L'équation a une seule solutions -3.

 

Vérification :

 

Si x = -3

 

Alors : x2 + 6x + 9 = (-3)2 + 6 (-3) + 9 = 9 + (-18) + 9 = 18 + ( -18) = 0

 

Ainsi : 2 + 6x + 9 = 0

 

 

Illustration 3

 

Résoudre (2x + 3 )2 = 16

 

Résoudre (2x + 3 )2 = 16 revient à résoudre (2x + 3 )2 - 16 = 0

 

On factorise le membre de gauche avec l'identité remarquable  a2 - b2 = (a - b) (a + b)

 

 (2x + 3 ) - 16 est de la forme  (2x + 3 )2 - 42 ou encore ( 2x + 3 - 4) (2x + 3 + 4) c'est à dire en réduisant (2x - 1) ( 2x + 7)

 

Résoudre (2x + 3 )2 = 16 revient à résoudre l'équation-produit (2x - 1) ( 2x + 7) = 0 dont les facteurs sont 2x - 1 et 2x + 7

 

Si un produit est nul, alors l’un au moins de ses facteurs est nul.

 

Donc :

 

2x - 1 = 0

2x = 1

x =

ou

2x + 7 = 0

2x = -7

x =

 

L'équation a deux solutions et .

 

Vérification :

 

Si x =

Alors : (2x + 3)2 = (2   + 3 )2 = (1 + 3)2 = 42 = 16

 

Ainsi : (2x + 3)2 = 16

 

Si x =

Alors : (2x + 3)2 = (2   + 3 )2 = (-7 + 3)2 = 42 = 16

 

Ainsi : (2x + 3)2 = 16

 

 

Illustration 4

 

Résoudre (2x - 3) (x + 4) - (2x - 3) (7 - 4x) = 0

 

On factorise le membre de gauche en utilisant la formule ka - kb = 0 avec comme facteur commun k = 2x - 3

 

(2x - 3) (x + 4) - (2x - 3) (7 - 4x) est de la forme (2x - 3) [ ( x + 4) - ( 7 - 4x)] ou encore (2x - 3) (x + 4 - 7 + 4x) soit (2x - 3) ( 5x - 3)

 

Résoudre (2x - 3) (x + 4) - (2x - 3) (7 - 4x) = 0 revient à résoudre l'équation-produit

(2x - 3) ( 5x - 3) = 0 dont les facteurs sont (2x - 3) et (5x - 3)

 

Si un produit est nul, alors l’un au moins de ses facteurs est nul.

 

Donc :

 

2x -3 = 0

2x = 3

x =

ou

5x - 3 = 0

5x = 3

x =

 

L'équation a deux solutions et .

 

Vérification :

 

Laissée en exercice ...

 

 

Illustration 5 : résoudre un problème

 

Marcel a 34 ans et son fils 10 ans. Dans combien d'années Marcel sera-t-il trois fois plus âgé que son fils ?

 

 1 ) Nombre d'années cherché : x (années)

 

2 ) Mise en équation : 34 + x = 3 (10 + x)

 

 3 ) Résolution de l'équation :

 

    34 + x = 3 (10 + x)

    34 + x = 310 + 3x

    34 + x = 30 + 3x

    34 - 30 + x = 3x

    4 + x = 3x

    4 = 3x - x

    4 = 2x

    2 = x

    La solution de l'équation est 2.

 

4 ) Marcel sera trois fois plus âgé que son fils dans 2 ans.

 

Vérification :

 

Dans 2 ans, Marcel aura 36 ans et son fils aura 2 ans. On a bien 36 = 3 12

 

 

Illustration 6 : résoudre un problème

 

Peut-on trouver trois carrés dont les longueurs des côtés (en cm) sont trois entiers consécutifs, et dont la somme des aires est 15125 cm2 ?

 

1)  Les trois inconnues peuvent s'écrire à l'aide d'une seule.

     On appelle donc x - 1, x et x + 1 les longueurs des côtés (en cm).

 

2)  Mise en équation : (x -1) 2 + x 2 + (x + 1 ) 2 = 15125

 

3)  Si on développe le membre de gauche, il reste des  x 2.  Il s'agit donc d'une équation du deuxième degré. On cherche à la mettre sous la forme d'une équation produit.

 

    (x 2 - 2x + 1) + x 2 + (x 2 + 2x + 1) = 15125

    x 2 - 2x + 1 + x 2 +  x 2 + 2x + 1 = 15125

    3x 2 + 2 = 15125

    3x 2 + 2 - 15125 = 0

    3x 2  - 15123 = 0

    3 (x 2 - 5041) = 0

    3 ( x - 71) ( x + 71) = 0

    Les solutions de l'équation sont -71 et 71.

     

4) Une longueur étant positive, la longueur d'un carré ne peut pas être égale à -71 cm.

 

Les longueurs des trois carrés sont donc : 70, 71 et 72 cm.

 

Vérification :

 

La somme des aires des carrés est : 70 2 + 71 2 + 72 2 = 4900 + 5041 + 5184 =  15125 cm2