Les coordonnées dans un repère

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Définition d'un repère (rappels)

 

Deux droites graduées et de même origine forment un repère.

Chaque point du plan est repéré par deux nombres qui sont les coordonnées du point.

Le premier nombre est toujours l’abscisse et le second est l’ordonnée.

 

En 3ième, on écrit ( O ; I ; J ) pour nommer un repère :

 

  - O est l'origine du repère

  - I est le point de l'axe des abscisses (horizontal) qui a pour coordonnées (1 ; 0)

  - J est le point de l'axe des ordonnés (vertical) qui a pour coordonnées (0 ; 1)

  - les points I et J montrent les unités choisies sur chaque axe

 

Au lycée, en seconde, on nomme les repères d'une autre façon ...

 

Repère et coordonnées

 

Il existe plusieurs types de repères au collège :

 

 

Un repère orthonormé

 

 - les axes sont perpendiculaires

 

 - les unités sont les mêmes sur les deux axes

 

 

Repère orthonormé

 

 

Un repère orthonormal

 

 - les axes sont perpendiculaires

 

 - les unités ne sont pas nécessairement les mêmes

 

 

Repère orthonormal

 

 

Un repère quelconque

 

 - les axes ne sont pas nécessairement perpendiculaires

 

 - les unités sur chaque ne sont pas nécessairement  les mêmes

 

 

Repère quelconque

 

 

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 

 1 ) Lire sur un graphique les coordonnées d'un vecteur.

 

 2 ) Représenter dans le plan muni d'un repère, un vecteur dont on donne les coordonnées.

 

 3 ) Calculer les coordonnées d'un vecteur, connaissant les coordonnées des extrémités de l'un quelconque de ses représentants.

 

 4 ) Calculer les coordonnées du milieu d'un segment.

 

 5 ) Le plan étant muni d'un repère orthonormé, calculer la distance de deux points dont on donne les coordonnées.

 

 

Les coordonnées d'un vecteur

 

Rappelons qu'on représente un vecteur par une flèche.

 

  -  cette flèche définit la direction, le sens et l'amplitude d'une translation (notons qu'une direction définit deux sens).

  -  toutes les autres flèches parallèles, qui ont le même sens et la même longueur représente le même vecteur, puisqu'il s'agit de la même translation.

 

 

Déterminer les coordonnées d'un vecteur

 

Coordonnées d'un vecteur  Effectuer la translation de vecteur revient à effectuer :

 

  - la translation horizontale de vecteur qui consiste à se déplacer de 3 unités vers la droite. On dira " + 3 ".

 

suivie de :

 

 - la translation verticale de vecteur  qui consiste à se déplacer de 4 unités vers le bas. On dira " - 4 ".

 

 La translation de vecteur   est donc la composée de la translation de vecteur  et de la translation de vecteur   .

 

Le vecteur est donc la somme d'un vecteur horizontal et d'un vecteur vertical.

 

Pour la translation horizontale : vers la droite, le signe est + ; vers la gauche, le signe est -

 

Pour la translation verticale : vers le haut, le signe est + ; vers le bas, le signe est -

 

Les coordonnées du vecteur sont donc ( 3 ; - 4). On écrit ( 3 ; 4 )

 

 

Exemples de coordonnées d'un vecteur

 

 

Représenter un vecteur

 

 Deux flèches parallèles, de même sens et de même longueur représente le même vecteur.

 

Pour représenter un vecteur dont on a les coordonnées :

 

 - on place un point dans un repère (au hasard)

 - on dessine deux vecteurs mis bout à bout tels que :

    - le premier vecteur horizontal correspond à la première coordonnée

    - le second vecteur vertical correspond à la seconde coordonnée

 

Représentants de trois vecteurs

 

Propriété (égalité de deux vecteurs)

 

 1 ) Si deux vecteurs sont égaux, alors ils ont les mêmes coordonnées.

  

      Si ( x ; y) et ( x' ; y ') sont deux vecteurs tels que  = , alors x = x' et y = y'

 

 2 ) Si deux vecteurs ont les mêmes coordonnées, alors ils sont égaux.

 

     Si ( x ; y) et ( x' ; y ') sont deux vecteurs tels que x = x' et y = y', alors  =

 

 Cette propriété est évidente si on se convainc que la décomposition d'un vecteur en une somme d'un vecteur horizontal et vertical est unique (une seule façon de décomposer est possible).

 

 

Calculer les coordonnées d'un vecteur

 

Propriété (coordonnées d'un vecteur)

 

Soit ( O ;  I ;  J ) un repère. Soient A( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) deux points.

 

Alors le vecteur a pour coordonnées ( xB - xA ; yB - yA )

 

Calculer les coordonnées d'un vecteur

 

Illustration

 

Soient A ( 2 ; 6 ) et B ( 5 ; 2 ) deux points d'un repère ( O ; I ; J ).

Calculer les coordonnées du vecteur .

 

 ( xB - xA ; yB - yA )

 

 ( 5 - 2 ; 2 - 6 )

 

( 3 ; - 4 )

 

On contrôle graphiquement sur le dessin.

 

 

Calculer les coordonnées d'un milieu

 

 

Propriété (coordonnées du milieu d'un segment)

 

Soit ( O ;  I ; J ) un repère. Soient A( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) deux points.

 

Alors le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées :

 

 

Coordonnées d'un milieu

 

Illustration

 

Soient A( -3 ; 1 ) et B ( 4 ; 6 ) deux points d'un repère.

Calculer les coordonnées du milieu M du segment [AB].

 

Calculer les coordonnées d'un milieu

 

Calculs des coordonnées du milieu

 

 Donc  M ( 0,5 ; 3,5 )

 

On contrôle graphiquement sur le dessin.

 

 

Calculer une distance dans un repère

 

 

Soit ( O ;  I ; J ) un repère ORTHONORME. Soient A( xA ; yA ) et B ( xB ; yB ) deux points.

 

Alors le carré de la longueur AB et la longueur AB sont égales à :

 

Formule

 

Longueur d'un segment

 

Remarque

 

 - en général, on commence par calculer AB2 pour alléger les calculs.

 

 - la propriété se démontre facilement grâce au théorème de Pythagore :

 

xB - xA représente la longueur CB au signe près

yB - yA représente la longueur CA au signe près

 

 On sait que : ABC triangle rectangle en C

                         BC2  =  ( xB - xA )2

                         CA2  =  ( yB - yA )2

 

Donc par le théorème de Pythagore,

 

AB2 = CB2 + CA2

 AB2 =  ( xB - xA )2  +   ( xB - xA )2

 

Illustration

 

Soient A( 5 ; -3 ) et B ( 3 ; 1 ) deux points d'un repère orthonormé.

L'unité choisie sur les deux axes est le cm.

Calculer la distance AB.

 

 Calculer la longueur d'un segment

 

AB2 = ( xB - xA )2 + ( yB - yA )2

 

AB2 = (3 - 5 )2 + ( 1 - (-3) )2

 

AB2 = (-2 )2 +  42

 

AB2 = 4 + 16

 

AB2 = 20

 

donc

L'unité est celle utilisée sur les deux axes.

 

AB  7,1 cm

 

On peut vérifier graphiquement en mesurant la longueur AB et en constatant qu'elle est égale à 7,1 cm environ (à condition que l' unité sur chaque axe soit le cm !).