Le calcul littéral

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Déjà du calcul littéral en 4ième ...

 

En 4ième, on utilise déjà des formules pour développer ou factoriser des expressions.

 

A ce sujet, on pourra consulter le chapitre de 4ième : "le calcul littéral "

 

Pour la suite de ce chapitre, on rappelle que a 2 = a  a

 

 Comment voir qu'une expression est une somme ou un produit ?

 

Dans une expression, on sait que la multiplication est prioritaire sur les additions et soustractions. On recherche donc l'opération effectuée en dernier. Par exemple :

 

L'expression 3 ( x + 5) aussi égale à 3  ( x + 5 ) est un produit, car la multiplication est effectuée en dernier.

 

L'expression 10 + 2x aussi égale à 10 + 2 x est une somme car l'addition est effectuée en dernier.

 

L'expression  (x + 1) (x + 2) - 5 ( x + 2) aussi égale à  (x + 1) (x + 2) - 5 ( x + 2) est une différence car la soustraction est effectuée en dernier.

 

 

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 

 1 ) Factoriser des expressions telles que :

 

     (x + 1) (x + 2) - 5 ( x + 2)

   

     ( 2x + 1 ) 2 + ( 2x + 1) ( x + 3 )

 

 2 ) Connaître les égalités :

 

     ( a + b) (a - b) = a 2 - b 2

 

     ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

 

     (a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2

 

et les utiliser sur des expressions numériques ou littérales simples telles que :

 

     101 2 = ( 100 + 1 ) 2 = 100 2 + 200 + 1

 

     (x + 5 ) 2 - 4 = ( x + 5 ) 2 - 2 2 = ( x + 2 + 2 ) ( x + 5 - 2 )

 

 

Développer et réduire avec les formules de 4ième

 

Développer un produit, c'est le remplacer par une somme ou une différence.

 

 Simple distributivité

 

 

k ( a + b )

=    k a + k b

 

k (a - b )

=     k a - k b

 

 Double distributivité

 

 

( a + b ) ( c + d )

=    a c + a d + b c + b d

 

( a + b ) ( c - d )

=     a c - a d + b c - b d

 

( a - b ) (c + d )

=     a c + a d - b c - bd

 

( a - b ) ( c - d )

=     a c - a d - b c + b d

 

 Rappel : règles des signes d'un produit

 

Le produit de deux nombres de même signe est positif

 

  ( + ..... ) ( + ..... ) = ( + ..... )

  ( - ..... ) ( - ..... ) = ( + ..... )

 

Le produit de deux nombres de signe différent est négatif

 

  ( + ..... ) ( - ..... ) = ( - ..... )

  ( - ..... ) ( + ..... ) = ( - ..... )

 

 Rappel : pour supprimer des parenthèses précédées d'un signe + ou d'un signe -

 

Pour supprimer des parenthèses précédées du signe + , on recopie ce qui est dans les parenthèses.

 

5 + ( x 2 - 7x + 1 ) = 5 +  x 2 - 7x + 1

 

3 x 2 + (- 5x) + (- 12x) + 20 = 3 x 2 - 5x - 12x + 20

 

Pour supprimer des parenthèses précédées du signe - , on "recopie" ce qui est dans les parenthèses en CHANGEANT les signes (on écrit donc l'opposé de l'expression entre parenthèses).

 

5 - ( x 2 - 7x + 1 ) = 5 -  x 2 + 7x - 1

 

(x + 4 ) - ( 7 - 4x ) = x + 4 - 7 + 4x

 

Exemples pour développer et réduire

 

 

Avec la formule k ( a + b ) = k a + k b

 

 

A = 2 ( 5 + x )

 

A = 2  5 + 2  x

 

A = 10 + 2x

 

 

B = 3 ( 2 + 4x )   

 

B =   3  2 + 3 4x   

 

B =   6 + 12 x

 

Avec la formule k ( a - b ) = k a - k b

 

 

C = 2 ( 7 - x )   

 

C = 2 7 - 2   x   

 

C = 14 - 2x

 

 

D = 3 ( 4x - 5 )

 

D = 3 4x - 3  5  

 

D = 12x - 15

 

Avec la formule ( a + b ) ( c + d ) = a c + a d + b d + b d

 

 

E = (x + 3) (x + 2)   

 

E =   x x + x 2 + 3 x + 3 2

 

E = x 2 + 2x + 3x + 6

 

E = x 2 + 5x + 6

 

 

Avec la formule  ( a - b ) ( c - d ) = a c - a d - b d + b d

 

 

Première méthode (selon les goûts d'élèves ou aptitudes ...). On détermine les signes de chaque produit pendant le développement.

 

F = ( x - 4 ) ( 3x - 5 )   

 

F = x 3x  -  x 5  -  4 3x  + 4 5

 

F = 3 x 2 - 5x - 12x + 20

 

F = 3 x 2 - 17x + 20

 

Deuxième méthode ( si on désire apprendre une seule formule quels que soient les signes ...). On écrit uniquement des signes opératoires + entre chaque produit.

 

F = (x - 4) (3x - 5)   

 

F = x 3x  +  x ( - 5)  +  ( - 4 ) 3x  +  ( - 4 ) ( - 5 )

 

Puis on applique la règle des signes d'un produit.

 

F = 3 x 2 + (- 5x) + (- 12x) + 20

 

F = 3 x 2 - 5x - 12x + 20

 

F = 3 x 2 - 17x + 20

 

 

 

Développer avec les trois identités remarquables de 3ième

 

 

(a + b) ( a - b)

=     a 2 - b 2

 

( a + b ) 2

=     a 2 + 2 a b + b 2

 

( a - b ) 2

=     a 2 - 2 a b + b 2

 

Un peu de vocabulaire

 

 

 a 2

est le carré de a

 

 b 2

est le carré de b

 

a b

est le produit de a par b

 

2 a b

est le double produit de a par b

 

a + b

est la somme de a et b

 

( a + b ) 2

est le carré de la somme de a et b

 

 a 2 + 2 a b + b 2

est la somme du carré de a, du double produit de a par b et du carré de b

 

a - b

est la différence entre a et b

 

( a  - b ) 2

est le carré de la différence entre a et b

 

a 2 - b 2

est la différence entre le carré de a et le carré de b

 

( a + b ) ( a  - b )

est le produit de la somme de a et b par la différence entre a et b

 

  Une remarque utile quand on développe

 

Les expressions 5x 2 et ( 5x ) 2 sont différentes - il faut tenir compte des parenthèses.

 

     ( 5x ) 2   =   5x  5x   =  5  5  x  x  qu'on réduit sous la forme 25 x 2

 

     5 x 2   =  5  x  x   ;   on le laisse sous la forme 5 x 2

    

Les expressions  - 3x 2 et ( -3x ) 2 sont différentes - il faut tenir compte des parenthèses.

 

    ( - 3x ) 2   =  ( -3x )  ( -3x )   =  -3  ( -3 )  x  x  qu'on réduit sous la forme 9 x 2

 

      - 3 x 2   =  - 3  x  x   ;   on le laisse sous la forme  - 3 x 2

 

 

Exemples de type brevet pour développer

 

 

Avec l'identité          (a + b) ( a - b) = a 2 - b 2

 

 

Développer :

 

A = ( 3x + 4 ) ( 3x - 4 )

 

A = (3x ) 2 - 4 2

 

A = 9x 2 - 16

 

 

Calculer en développant :

 

B = 101  99

 

B = ( 100 + 1 ) ( 100 - 1 )

 

B = 100 2 - 1 2

 

B = 10000 - 1

 

B = 9999

 

 

Avec l'identité          ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

 

 

Développer :

 

C = ( 5x + 3 ) 2

 

C = ( 5x )2 + 2 5x 3 + 32

 

C = 25x 2 + 30x + 9

 

 

Calculer en développant :

 

D = 1012

 

D = ( 100 + 1 ) 2

 

D = 1002 + 2  100 1 + 12

 

D = 10000 + 200 + 1

 

D =10201

 

 

Avec l'identité          ( a - b ) 2 = a 2 - 2 a b + b 2

 

 

Développer :

 

E = ( x - 5 ) 2

 

E = x 2 - 2 x 5 + 5 2

 

E = x 2 - 10x +  25

 

 

Calculer en développant :

 

F = 992

 

F = ( 100 - 1 ) 2

 

F = 100 2 - 2 100 1 + 12

 

F = 10000 - 200 + 1

 

F =9800 + 1

 

F = 9801

 

 

 

Factoriser

 

Factoriser une somme ou une différence, c'est la remplacer par un produit.

 

En utilisant un facteur commun à l'aide des formules suivantes :

 

 

k a + k b

=    k (a + b )

 

k a - k b

=     k (a - b )

 

En utilisant une identité remarquable à l'aide des formules :

 

 

 a 2 - b 2

=    (a + b) ( a - b)

 

a 2 + 2 a b + b 2

=     ( a + b ) 2

 

a 2 - 2 a b + b 2

=     ( a - b ) 2

 

 

Exemples de type brevet pour factoriser

 

En utilisant un facteur commun, factoriser :

 

 

Avec la formule k a + k b = k ( a + b )

 

 

A = ( x + 2 ) ( x + 1 )  + ( x + 2 ) ( x - 4 )

 

A = ( x + 2 ) [ ( x + 1 )  +  ( x - 4 ) ]

 

A = ( x + 2 ) ( x + 1 + x - 4 )

 

A = ( x + 2 ) ( 2x - 3 )

 

 

Avec la formule k a + k b = k (a + b)

 

 

Le coup du 1:

 

B = ( x + 3 ) ( x - 4 ) + ( x + 3 )

 

B = ( x + 3 ) ( x - 4 ) +  ( x + 3 ) 1

 

B = ( x + 3 ) [ (x - 4 ) + 1]

 

B = ( x + 3 ) ( x - 4 + 1 )

 

B = ( x + 3 ) ( x - 3 )

 

 

Avec la formule k a - k b = k ( a - b )

 

 

C = ( 2x - 3 ) ( x + 4 )  -  ( 2x - 3 ) ( 7 - 4x )

 

C = ( 2x - 3 ) [ (x + 4 )  -  ( 7 - 4x ) ]

 

C = ( 2x - 3 ) ( x + 4 - 7 + 4x )

 

C = ( 2x - 3 ) ( 5x - 3 )

 

 

Avec la formule ka - k b = k (a - b )

 

 

Le coup du -1

 

D = ( 2x - 3 ) ( 3x - 7 ) - 2x + 3

 

D = ( 2x - 3 ) ( 3x - 7 ) - 1 ( 2x - 3 )

 

D = ( 2x - 3 ) [ ( 3x - 7 ) - 1 ]

 

D = ( 2x - 3 ) ( 3x - 7 - 1 )

 

D = ( 2x - 3 ) ( 3x - 8)

 

 

En utilisant les identités remarquables, factoriser :

 

 

Avec l'identité          a 2 - b 2 = (a + b) ( a - b)

 

 

C = x 2 - 9

 

C = x 2 - 3 2

 

C = ( x + 3 ) ( x - 3 )

 

 

D = 25 x 2 - 36

 

D = ( 5x ) 2 - 6 2

 

D = ( 5x + 6 ) ( 5x - 6 )

 

 

E = (x + 5 ) 2 - 4

 

E = ( x + 5 ) 2 - 2 2

 

E = ( x + 2 + 2 ) ( x + 5 - 2 )

 

E = ( x + 4 ) ( x + 3 )

 

 

Avec l'identité          a 2 + 2 a b + b 2 = ( a + b ) 2

 

 

E = x 2 + 6x + 9

 

E = x 2 + 2 x 3 + 3 2

 

E = ( x + 3 ) 2

 

 

F = 49x 2 + 42x + 9

 

F = ( 7x ) 2 + 2 7x 3 + 3 2

 

F = ( 7x + 3 ) 2

 

 

 

Avec l'identité        a 2 - 2 a b + b 2 = ( a - b ) 2

 

 

G = x 2 - 2x + 1

 

G = x 2 - 2 x 1 + 1 2

 

G = ( x - 1 ) 2

 

 

H = 16x 2 - 8x + 1

 

H = ( 4x ) 2 - 2 4x 1+ 1 2

 

H = ( 4x - 1 ) 2

 

 

 

Premier exemple classique : développer et factoriser

 

 

Énoncé

 

On considère l'expression littérale A = ( x + 3 ) 2 - ( x + 3 ) ( 2x + 1)

 

 1 ) Développer et réduire A

 

 2 ) Factoriser A

 

 

Solution

 

 1 ) Il est conseillé d'écrire chaque développement dans des parenthèses pour éviter les problèmes de signes ( les signes - sont sources d'erreurs ...)

 

A = ( x + 3 ) 2 - ( x + 3 ) ( 2x + 1)

 

A = ( x 2 + 2 x 3 + 3 2 ) - ( x 2x  +  x 1 + 3 2x  +  3 1 )

 

On réduit chaque développement

 

A = ( x 2 + 6 x + 9 ) - ( 2x 2  +  x +  6x  +  3 )

 

A = ( x 2 + 6 x + 9 ) - ( 2x 2  +  7x  +  3 )

 

On supprime les parenthèses

 

A = x 2 + 6 x + 9  - 2x 2  - 7x  -  3

 

A =  - x 2 - x  +  6

 

 2 ) On repère ici le facteur commun ( x + 3 )

 

A = ( x + 3 ) 2 - ( x + 3 ) ( 2x + 1)

 

A = ( x + 3 ) ( x + 3 ) - ( x + 3 ) ( 2x + 1)

 

A = ( x + 3 ) [ ( x + 3 ) - ( 2x + 1 ) ]

 

On supprime les parenthèses dans les crochets

A = ( x + 3 ) ( x + 3 - 2x - 1 )

 

On réduit l'expression entre parenthèses

A = ( x + 3 ) ( -x + 2 )

 

 

Deuxième exemple classique : généraliser une formule en calcul

 

 

 Énoncé

 

 1 ) Avec ou sans calculatrice, calculer les expressions  :

 

22 - 3  1         32 - 4  2           42 - 5  3

 

52 - 6  4           62 - 7  5           72 - 8  6

 

 2 ) A l'aide des résultats précédents et sans calculatrice, peut-on prévoir la valeur de l'expression : 12342 - 1235  1233  ou de l'expression : 50072 - 5008  5006 ?

 

 3 ) Quelle formule générale suggèrent les calculs précédents ?

A l'aide de cette formule que l'on démontrera, expliquer les résultats de la question 2.

 

 

 Solution

 

 1 )  22 - 3  1 =  1          32 - 4  2 =  1           42 - 5  3 = 1

 

       52 - 6  4  = 1          62 - 7  5 = 1            72 - 8  6 = 1

 

 2 ) Toutes les expressions précédentes sont de la forme

 

x 2 - (x + 1) ( x - 1)     

 

comme : 12342 - 1235  1233 et 50072 - 5008  5006.

 

Après calcul, on constate que les expressions de la question 1 sont toutes égales à 1.

 

Il est donc probable que :    

 

12342 - 1235  1233 =  1  et     50072 - 5008  5006 = 1

 

 3 ) On réduit l'expression littérale :

 

x 2 - (x + 1) ( x - 1) = x 2 - ( x2 - 12 ) = x 2 - x2 + 12  = 1

 

On a donc prouvé que , pour n'importe quelle valeur de x , x 2 - (x + 1) ( x - 1) = 1

 

Il est donc certain que :    

 

12342 - 1235  1233 =  1  et     50072 - 5008  5006 = 1

 

 

Troisième exemple : étudier un cas général en géométrie

 

 

Énoncé

 

On suppose que l'unité de longueur est le cm.

 

 

Démontrer que, pour n'importe quelle valeur positive de x, il existe un carré qui a la même aire que le triangle. Quelle est la longueur d'un côté du carré ?

 

 

Solution

 

L'aire du triangle est égal à :

 

A = BC AH

 

A = ( x + 2 + x ) ( 1 + x )

 

A = ( 2 + 2x ) ( 1 + x )

 

A = 2 ( 1 + x ) ( 1 + x)

 

A = ( 1 + x ) 2   qui est l'aire d'un carré dont le côté mesure x + 1