Les agrandissements et les réductions

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Remarques ou rappels préliminaires

 

 Lorsqu'on multiplie un nombre a par un nombre k inférieur à 1, on obtient un nombre plus petit que a. Par exemple :

 

nombre a

8

1

0,9

nombre k < 1

0,5

0,5

0,5

produit obtenu

4

qui est bien

inférieur à 8

0,5

qui est bien

inférieur à 1

0,45

qui est bien

inférieur à 0,9

 

 Lorsqu'on multiplie un nombre a par un nombre k supérieur à 1, on trouve un nombre plus grand que a.

 

nombre a

8

1

0,9

nombre k > 1

3

3

3

produit obtenu

24

qui est bien

supérieur à 8

3

qui est bien

supérieur à 1

2,7

qui est bien

supérieur à 0,9

 

 

Ce qu'il faut savoir faire à la fin du chapitre

 

 Connaître et utiliser le fait que, dans un agrandissement ou une réduction de rapport k :

 

 - l'aire d'une surface est multipliée par k2

 - le volume d'un solide est multiplié par k3

 

 

Deux définitions : réduire ou agrandir

 

 Lorsqu'on multiple toutes les dimensions d'une figure (ou d'un solide) par un même nombre k inférieur à 1, on dit qu'on réduit cette figure ou qu'on effectue une réduction de rapport k de cette figure.

 

 Lorsqu'on multiplie toutes les dimensions d'une figure (ou d'un solide) par un même nombre k supérieur à 1, on dit qu'on agrandit cette figure ou qu'on effectue un agrandissement de rapport k de cette figure.

 

Propriétés

 

Dans une réduction ou un agrandissement de rapport k  :

 

 - les longueurs sont multipliées par k

 

 - les aires sont multipliées par  k2

 

 - les volumes sont multipliés pat k3

 

 

Illustrations

 

Premier exemple d'agrandissement

Deuxième exemple d'agrandissement

 

 

Application aux cônes de révolution et aux pyramides

 

A ce sujet, on pourra consulter le chapitre de troisième  "les sections planes de solides". Rappelons que :

 

 

Section d'un cône de révolution

Section d'une pyramide

par un plan

parallèle

à la base

La section d’un cône par un plan  parallèle à la base est un disque qui est une réduction du disque de base.

 La section d’une pyramide par un plan parallèle à la base est un polygone qui est une réduction du polygone de base.

 

Section d'un cône

 

la section jaune est un disque,

réduction du disque de base

 

 

Section d'une pyramide

 

la section jaune est une réduction de la base

 

calcul

d'aire et

de volume

 

Calculs de l'aire et du volume du petit cône

 

 

Calculs de l'aire et du volume de la petite pyramide

 

 

Exemple de calcul

 

 Une pièce en bois a la forme d'une pyramide à base rectangulaire de 4 cm sur 5 cm.

Sa hauteur SA est 6 cm.

 

On la coupe par un plan parallèle à la base; ce plan passant par le milieu de la hauteur [SA].

On a donc SA' = 3 cm. Calculer le volume du tronc de pyramide obtenu.

 

 Le volume de la pyramide est égal  à :

 

V = AB  AD AS

 

V = 5  4  6

 

V = 40 cm3

 

La petite pyramide SA'B'C'D' est une réduction de la grande pyramide SABCD. Le rapport de cette réduction est  c'est  à dire 0,5.

 

Le volume de la petite pyramide est donc égal à :

 

V' = 0,53 40 = 5 cm3

 

Le volume du tronc ABCDA'B'C'D' est donc égal à :

 

V '' = V - V' = 40 - 5 = 35 cm3

 

 

La petite pyramide est 2 fois plus petite que la grande pyramide.

Son volume est 8 fois plus petit que le volume de la grande pyramide.

 

Section d'une pyramide et tronc de pyramide

 

 

Le volume du tronc représente 87,5 % du volume de la grande pyramide.